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 mehr auf das Intervall — zusammengedrängt scheinen , wovon 



man sich durch nähere Untersuchung des Ausdruckes leicht über- 

 zeugt. Substituirt man diese Functionsbezeichnung, so erhält die 

 Keihe die Form: 



AFix) = ±Ä, f[± (x-et 2n)±AJ[_±{2x~-e,2n)-]± 

 ^ ^l ±Äj[±{Sx-^,2n)-\± ... 



wobei selbstverständlich das Zeichen IjT an Stelle von + ausser- 

 halb des Functionszeichens zu treten hat, wenn das betreffende A 

 aus den Gleichungen (8) mit negativem Zeichen hervorgeht. 



Es ist nun auch sehr leicht zu erkennen, dass die Reihe (9) 

 oder (10) ausserhalb der Gränzen x =^ und x -= n einen perio- 

 dischen Verlauf hat und zwar genau in demselben Sinne, wie die 

 Reihe (4) nach Fourier. Dies geht aus dem Umstände hervor, dass 

 alle Glieder der Reihe nach der Definition des § 1 entgegen- 

 gesetzte Werthe annehmen für entgegengesetzte Werthe von x und 

 dass der Werth eines jeden Gliedes wiederkehrt, wewi x um 2n 

 wächst. Die graphische Darstellung Fig. 1 gilt also auch für die 

 ganze Reihe ausserhalb der obigen Gränzen und wenn man in 

 Gleichung (10) anstatt F(x) linker Hand ebenfalls die periodische 

 Bezeichnung + ^ [+ (^ — Ci 2/:)] einführt, so gilt die Gleichung 

 nunmehr zwischen x = — co bis j' = + oo. 



§3. 



Es wurde oben bemerkt , dass der indirecte Weg , welchen 

 wir bei der Entwickelung einschlugen , im Allgemeinen keine 

 strenge Giltigkeit habe. Der Complex der Gleichungen (6) reprä- 

 sentirt eine Doppelreihe, welche wir in zweifacher Weise summirt 

 haben, einmal nach Formel (7), dann nach Gleichung (9) und wir 

 haben bisher diese Summationsweisen als gleichwerthig voraus- 

 gesetzt. Es fragt sich, unter welchen Bedingungen diese Voraus- 

 setzung jedenfalls in voller Strenge erfüllt, unsere Ableitung also 

 zulässig sei. 



Die Doppelreihe wollen wir durch folgendes Schema veran- 

 schaulichen : 



