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Trapez opqr fallenden Glieder dargestellt. Beide Summen sind 

 convergent und gleichwerthig. 



Wenn also dieKechnung eine absolut con- 

 vergente Reihe für die Coefficienten Ä ergibt, 

 seist der Schritt von Glch. (7) zu Glch. (9) und 

 (10) jedenfalls erlaubt und die Entwickelba r- 

 keit für diesen Fall bewiesen. Dies findet man denn 

 auch bei den später erläuterten Fällen bestätigt. 



Wenn nun hierdurch die Möglichkeit der erweiterten perio- 

 dischen Reihenentwickelung bereits für sehr viele Fälle gegeben 

 ist, so muss ich doch noch Folgendes dazu bemerken: 



Es ist mit dem Obigen durchaus nicht aus- 

 gesprochen, dass in solchenFällen, in welchen 

 die^ nicht absolut convergiren, dieEntwicke- 

 lung überhaupt unstatthaft sei. Vielmehr bleibt 

 für solche Fälle die Untersuchung nur eine 

 offene, es erlischt nur die Beweiskraft meiner indirecten Me- 

 thode! In der That stösst man am häufigsten auf solche Fälle, 

 und ich werde Beispiele derart in § 4 anführen, in denen die 

 Reihe nur mit Rücksicht auf das Vorzeichen der Glieder con- 

 vergirt. In diesen Fällen kann man die Zulässigkeit vorläufig nur 

 durch ein inductives Verfahren prüfen. Aus diesem Grunde scheint 

 es mir nicht wichtig, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen 

 die absolute Convergenz der Coefficienten eintritt. Vielmehr glaube 

 ich, dass eine Ausscheidung derjenigen Functionen, für welche die 

 Reihe (9) oder (10) ihre Giltigkeit verliert, nicht eher möglich sein 

 werde, als bis die Ableitung der letzteren auf allgemeinerer Grund- 

 lage gelungen ist. 



Meistens ist es bequem, die Function F{x) = a sin x nach 

 (10) in irgend einer anderen Function zu entwickeln, da hier in 

 der Rechnung alle a bis auf das erste verschwinden. Hiezu hat 

 Professor Boltzraann, welchem ich meine Resultate mittheilte, eine 

 weitere nutzbare Bemerkung gemacht. 



Wenn bewiesen ist, dass sinx nach irgend 

 einem f [x) durch Reihe (10) entwickelbar ist, so 

 gilt sofort auch die Entwickelbarkeit nach f{x) 

 für alle diejenigen Functionen F{x), welche in 

 den sinus ganzer V ielf acher v on j* dargestellt 



