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(Fourier) absolut convergirendeCoefficienten 

 («1, «2 . . .) li e f e r n. 

 Es sei z. B. : 



(11). 



sin J- = tI, t/i 4- ^2 ^2 + ^3 ^3 + • • • «nd 

 F(r) = ai sin i' + «2 sin 2 i* 4- % sin 3 T 4- . . 



wo die a absolut convergiren, so erhält man, wenn für die sinus 

 ihre Keihen nach (11) substituirt werden, folgendes Schema, welches 

 nach dem Obigen ohne Weiteres zu verstehen ist. 



«1 AVi + ^22/j + 

 <h A Vz + 



»k 



Amyvi 



«j sin a; + . . a^ sin ka; 



Hier bedeuten die D die Coefficienten der neuen Eeihe für 

 F{x). Man erkennt sofort, dass durch eine der früheren ganz 

 analoge Schlussweise die Giltigkeit der Reihe 



F(r) = Di2/, +Ay2+A2/3 + - 



bewiesen ist. Beim Beweis ist hier weder die absolute Convergenz 

 der A noch der D vorausgesetzt. Man kann dieser Folgerung die 

 folgende noch allgemeinere Form geben: 



Wenn bei der Entwickeluug irgend einer 

 Fun c t i n F{t) gemäss Glch. (10) durch irgend 

 eine zweite Function/" (.r) eine absolut conver- 

 gente Coefficientenreihe zumVorscbein kommt, 

 so ist-F(a;) auch jedenfalls entwickelbar nach 

 allen Functionen ^ {jc) und ^(ar) etc., welche sich 

 zur Darstellung von f {x) als geeignet erwiesen 

 haben. Der Beweis führt sich genau nach dem obigen Schema. 



Man sieht also , dass es trotz der ünvollkommenheit des 

 von mir eingeschlagenen Weges schon jetzt möglich ist, rasch 



