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Ausgenommen hiervon sind diejenigen Coefficienten, deren 

 Indices aus einer geraden Anzahl von (ungleichen) 

 Primfactoren bestehen. Diese erhalten das entgegen- 

 gesetzte von demjenigen Zeichen, welches aus der vorherigen Regel 

 folgen würde. Z. B. 



. _ J_ JL 4 — i. A^ JL A — LiL 



•' ~ lö-' • 4 ' ^21 h 21<! • 4 ' ^35 35;. • 4 » 



. _ 1 TT , 



Diese Coefficientenreihe ist absolut convergent, da die Summe 

 der reciproken Werthe aller Quadratzahlen mit jeder Zeichen- 

 folge nach einem bestimmten endlichen Werthe convergirt.*) 

 Für dieses Beispiel also ist die Giltigkeit unserer Reihenentwicklung 

 erwiesen. Für den vorliegenden Fall muss man, um die Reihe 

 hinzuschreiben, sich des Functionszeichens für das allgemeine Glied 

 bedienen, da f {x) nicht in gewöhnlicher Weise durch eine ein- 

 zige Gleichung ausdrückbar ist. 



Zum Verständniss ist in Fig. 3 das Ergebniss durch graphische 

 Superposition der 4 ersten Componenten der Reihe dargestellt. 

 Wegen der Deutlichkeit ist der Massstab der Ordinaten vergrössert 

 angenommen gegen die Abscissßnwerthe. Man sieht, wie sich bei 

 Berücksichtigung weniger Glieder die durch Superposition erhaltene 

 gebrochene Linie schon enge an die sinus-Curve anschliesst. 



Nebenbei sei bemerkt , dass aus diesem Falle convergente 



1 



Zahlenreihen für — - gewonnen werden können. Setzt man z. B. 



TT 



s = — und berechnet wie im vorigen Beispiel die ^ , so findet 

 sich, dass man das Zeichen für die Coefficienten vom Index 4 Ä; — 1 



*) Bekanntlich ist 



/ 



iQO 



dx J__ J_ _!_ J_ 



Das Integral hat aber den Werth 1, daher convergirt die Reihe mit 

 jedem Zeichenwechsel, also auch, wenn wie oben eine unbegrenzte Zahl von 

 Gliedern fehlt. 



6* 



