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(Fig. 5) ist also der Werth — (-|- -|- ^) == -^ zu setzen. An dieser 



Stelle springen alle übrigen Glieder von ihren positiven auf die 

 entgegengesetzten Werthe. Ihre Werthe sind Null und die Reihe 



liefert also f(^) = 4-. 



Ist s= —, so ist das erste Glied -r, das zweite -jt-I-tt 4— rrir 



= T^alle übrigen Glieder sind Null , also F(--\z=:-rT4--r^ = -r 

 12 ° 19/ 6 ' J2 4 



u. s w. Es bestätigt sich also wiederum die Giltigkeit der Reihe 

 für die Sprungstellen, wenn man für diese nach der Definition 

 die Mittelwerthe gelten lässt. 



Umkehrung. Wenn man in dem eben behandelten Bei- 

 spiel die darstellende Function zur darzustellenden, die dargestellte 

 zur darstellenden macht, so erhält man die Coefficienten 



1 

 Äi = -{-l, Äi = — j. 



Alle übrigen fallen aus und die nur aus 2 Gliedern beste- 

 hende Reihe entspricht der Fig. 6 ; ihre Giltigkeit ist daher selbst- 



_ o _ 



verständlich. An den beiden Sprungstellen x = -^ und jr = — — 



ö ö 



TT 



ist der Werth des ersten Gliedes — , der des zweiten Null. Die 



4' 



Reihe liefert also Fix) = -j. An diesen Stellen springt die dar- 

 zustellende Function von -r auf — (und umgekehrt). Die Reihe 



liefert also das arithmetische Mittel aus den benachbarten Functions- 

 werthen, wenn die zu entwickelnde Function discontinuirlich wird; 

 sie stimmt also in dieser Beziehung mit der Entwickelung 

 nach Fourier überein. 



Beispiel VI. Wir wollen noch an einem zweiten sehr über- 

 sichtlichen Falle die Entwicklung nach der unstetigen Function 

 des vorigen Beispieles zeigen. Es sei darzustellen die geneigte 

 gerade Linie 



„, , x . sin 2^', sin 3 a: sin4j' . 



F{a^) = ^=smx 2-+-3 r~^'-' 



