§ 6. 



Wir wollen nun unsere allgemeinen Betrachtungen fortsetzen 

 und zunächst auf Grundlage der Eigenschaften des Ausdruckes 



ß 

 (12) 2/=-^ + ßiC0Sj'4 ß2Cos2a? + ... +ßiiCosw^ + . ... 



eine zweite erweiterte Keihenentwickelung ableiten. Die obige 

 Function ist periodisch mit dem Intervall 2 tt, weil cos w (t + 2 tt) = 

 =:cosw:r ist; es ist aber auch cosw(— t) = coswj? , also sind 

 die Werthe der Function dieselben für entgegengesetzte x. Hieraus 

 folgt die graphische Darstellung Fig. 8. Die Zweige zwischen 

 x = 2n und j* == 3 ::, dann — 2 tt und — n, kurz zwischen x = 2kn 

 und a; = (2 Ä -f- 1) TT, wo ä; alle ganzen Zahlen bedeutet, sind Wieder- 

 holungen des Zweiges von j*--0 bis x = n; alle übrigen Zweige 

 erhält man, indem man das System der vorigen um die Ordi- 

 natenachse umgekehrt denkt. 



Fallen die Werthe der Eeihe (12) zwischen a' = und a; = 7r 

 zusammen mit den Werthen einer bestimmten gegebenen Function 

 f{x), in welchem Falle 



'-iß 



f(x)GOsnxdx 



zu setzen ist, so kann man ähnlich, wie es im § 1 geschah, eine 

 periodische Functionsbezeichnung einführen, indem man schreibt: 



(13) . . f[±{x~^2n)] = -^ + ?iC0sx-^?^G0s2x-{~ ; 



hierbei hat ^ die Bedeutung, wie in den früheren Paragraphen, 

 desgleichen gilt für die Wahl des Vorzeichens dieselbe Eegel. 

 Auch bezüglich der Unstetigkeitsstellen gellen die im § 1 ge- 

 machten Bemerkungen. 



Man kann nun wieder den Versuch machen, durch ein der 

 Betrachtung des § 2 ganz analoges Verfahren die eben definirte 

 periodische Function zur Entwickelung anderer Functionen in Reihen 

 zu benutzen. Sei also gegeben 



(14) .... F(;r)— •^ + &, cos X -{-1)^0052 x-\ , 



