101 



woraus folgt, dass die Summe (ßj -f- P2 + ßa + • • •) einen endlichen 

 Werth haben muss. — üebrigens könnte man zur Vereinfachung 



p 



der obigen Formeln y^ — K-^'^n setzen und nun nach -Sn ent- 



wickeln. 



Unsere Betrachtung führt also zu einer Keihe, welche sich 

 zur Darstellung von Functionen gemäss Gleichung (9) gerade so 

 verhält, wie die Entwickelung nach sinus ganzer Vielfacher (Fourier) 

 zu jener nach den cosinus. Durch Einführung von f{x) an Stelle 

 unserer y erhalten wir die Form 



(17) ^ 



wobei die Bedeutung des ^n aus dem Früheren zu entnehmen ist. 



In der graphischen Darstellung hat diese Reihe die Deutung, 

 dass die Ordinaten einer darzustellenden Curve hervorgehen aus 

 der Superposition der Ordinaten von periodischen Componeuten, 

 welche die an Fig. 8 erläuterten Eigenschaften haben. 



Da, wie schon erwähnt, die Gleichung (12) auch für die 

 Gränzen x = und x = n giltig bleibt, da also, wie aus der 

 Fig. 8 zu ersehen, die einzelnen Zweige der periodischen Compo- 

 nenten sich stetig an einander schliessen, so ist keine besondere 

 Rücksicht auf diese üebergangsstellen zu nehmen; zwar wird im 

 allgemeinen Gliede 



yn = f[±{n^—^n2T:)'] 



TT 



für x = (2^+1)— der Werth des ^n zweideutig; denn es wird 



hier TT— = ^+-77 , also Cn sowohl =ä;, als auch =ä;-|-1; wir 

 haben also, je nachdem wir wählen 



^jj = ^, jt_|_ -^^^^ (Jas obere Zeichen, oder 



^„ = jt-|-l7 also ^H--^<CCni das untere Zeichen zu 

 setzen. Dann erhalten wir für y^ die beiden Werthe 

 /"rw(2Ä+l)-^-Ä;.27r]=/(7r) oder 



