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Ausserdem ist für I und II: m-\-n-\-u^ -\-v^ -|- C' = 360^i 



und für Z7J: m-\-n-\-UY-\-v^ =C' ^ -^ 



Setzt man sonach im Falle /und II: 360^ — (m -{- n -\- C = N 



im Falle III: C - m — n = N, 



so ist i\ = N — % und hat man mit Rücksicht auf 1.): 



a sin n sin N 



^9' Wj =-75 — -. \ -. ^, .... 3.), 



p sm m -f- a sin n cos N 



wodurch die Aufgabe gelöst ist, 



h) Liegen die Punkte Ä, B, C, D auf einer Kugelfläche und 

 ist D derart zu bestimmen, dass die sphärischen Winkel CDA 

 und CDB die Werthe m und n annehmen, so hat man gleichfalls 

 die drei soeben betrachteten Fälle zu unterscheiden. Bezeichnet 

 man die Seiten des sphärischen Dreiecks mit a, ß, v und die den 

 %, fj, rj etc. entsprechenden sphärischen Winkel mit u, v, r etc., 

 so folgt aus den Dreiecken CD B und CB A : 



sin [i sin m sin u = sin a sin n sin «;.... 4.) 

 und aus ABB: 

 cos V = cos (m -\- n) = cos v sin (A + u) sin {B + v) cos (A + u) X 



X cos (B + v) . . . .5.) 

 wo die oberen Zeichen für den Fall I und II, die unteren für 

 //Igelten. Zur Ermittlung von u und v hat man die Gleichungen 

 4.) und 5.) 



Grunert hat in seinem Archiv für Mathematik und Physik, 

 Band 47, eine directe Auflösung bekannt gemacht, welche jedoch 

 so mühsam ist, dass man in einem gegebenen Falle wohl immer 

 einer indirecten Auflösung den Vorzug geben wird. 



Hierzu benöthigt man zunächst einen genäherten Werth für 

 u, den man aus 3.) erhalten kann. Die Gl. 4.) und 5.) können 

 auch so geschrieben werden: 



sin ß sin m sin u — sin a sin n sin v = F (u, v) = . 4.') 



cos {m -j- n) + cos (A + u) cos (B + v) — cos v sin (A + u) X 



X sin (B ^ v) =: f (m, v) = . . 5.') 



Man setze nun u = Ui und berechne aus 5.') den dazu ge- 

 hörigen Werth V = v^^ so wird 5'.) durch % und i\ erfüllt, 

 nicht aber 4'.) und man hat demnach: 

 F (u„ V,) = ^ 

 f (%, ^i) = 



