QUELQUES REMARQUES SUR LES SÉRIES 
par M. ISELY. 
(Voir Bulletin , page 283.) 
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Pour qu’une série puisse réellement être sommée, il faut 
qu'elle soit convergente, c'est-à-dire que, non-seulement ses 
termes doivent converger vers zéro, mais encore que l’er- 
reur que l’on commet diminue à mesure qu'on en prend 
- un nombre plus considérable. La somme de laquelle on ap- 
proche autant qu’on veut en prenant un nombre de termes de 
plus en plus grand est une limite: c’est la limite de la série. 
Les séries convergentes sont les seules qu’on doive employer 
dans l’analyse pour calculer la valeur approximative ou la 
limite d’une quantité. 
Cependant plusieurs mathématiciens se sont occupés de 
séries divergentes à termes alternativement positifs et néga- 
tifs et en ont donné les limites. Catalan (Traité élémentaire des 
séries,) cite entre autres les suivantes, et s'étonne que de sa- 
vants géomètres aient énoncé de pareilles propositions, qui, 
à son avis, n'ont aucun sens: 
1—1+1—1+1. 1, (Lacroix) 
1—1+1—-1+1. LR AG 1e ?/, (Prehn) 
1—2+3—4+5... .1. .. : .. =}, (Lacroix) 
1— 2: + 3? — 4 + 8! 0 (Simonoff et 
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Lacroix) 
COS @ — cos 2 @ + cos 86 — cos 4e . —1), (Poisson) 
1—1.2+1.2.3—1.2.3.4+ . — 0,40362836 
etc. (Euler) 
On comprend difficilement, en effet, ce que peuvent signi- 
fier les limites de séries pareilles et d’autres analogues dont 
les termes vont constamment en croissant; l'erreur que l’on 
commet, alternativement positive et négative, croît elle-mè- 
me au-delà de toute limite. Mais si l’on considère que ces ré- 
sultats sont donnés par les plus grands géomètres, qui n’ont 
sans doute pas voulu chercher des choses de non sens, des 
