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c'est-à-dire, lorsque la série est convergente, la-valeur parti- 
culière de la fonction génératrice est en même temps la limi- 
te de la série, dans le sens rigoureux de ce mot. Ainsi le dé- 
veloppement de donne la suite 
1+x 
RE UE lt de UE 
Celle-ci est convergente quand x < 1. Pour # — ‘/,, elle de- 
- [3 
71 + 41 1 DE 
d: 
1' F1 2 
Dans le second cas, c'est-à-dire lorsque la série est diver- 
gente, la valeur particulière que prend la fonction généra- 
trice ne peut plus être égalée à la série, puisque celle-ci ac- 
quiert des valeurs de plus en plus grandes, suivant qu'on en 
réunit plus de termes. Pour qu'il y ait égalité réelle, il faut 
ajouter à la somme d’un nombre limite de termes, le reste de 
la division. Si l’on fait æ — 2 dans la suite ci-dessus, la fone- 
tion génératrice donne ‘/,, et la suite devient: 
1—2 + 2? — 25 + etc. 
et on ne peut poser | 
1Læt-2 + 2-92 +. 
qui a pour limite la valeur */, que prend aussi 
1 
Mais si on tient compte du reste de la division de ÈS 
+ 
2 LA L] Q] A = 
qui est + ——— lorsqu'on s'arrête au 4"*° terme, on à rigou- 
1+x 
Ju 
reusement : !/, = 1 — 2 + 2? + 25 + LE etc. 
Cela posé, je dis que c’est en supprimant le dernier ferme 
de la série et en donnant à la variable une valeur particu- 
lière, que les auteurs citésau commencement de cet article ont 
trouvé les limites des séries indiquées; de sorte que ces limites 
ne sont pas autre chose, en général, qu'une valeur particu- 
lière de la fonction génératrice générale, et elles ne peuvent 
pas être égalées aux séries elles-mêmes qui sont divergentes, 
à moins qu'on ne tienne compte du reste. | 
En effet, la plus importante des méthodes qu’on emploie 
pour sommer les séries, consiste à effectuer des opérations 
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