= Ms 
rentiée par rapport à æ, on fait æ— 1. Ce calcul donne : 
1 1 
COS y — COS 2% + COS 3 @ — pe inv 
5° Enfin la série 
y—=1.xz—1.2.x +1.2.3.2tetc. 
multipliée par <=, puis intégrée et de nouveau différentiée , 
conduit à une équation différentielle du premier degré et du 
premier ordre, d’où l’on tire, pour le cas de x = 1 
RER 
y —e | e Tdx 
o 
qui est la valeur particulière de la fonction génératrice sous 
forme d’intégrale et qu'Euler à calculée d’une manière appro- 
chée, en divisant l’intervale de 0 à 1 en dix parties égales. 
C’est ainsi qu'il a obtenu 0,40362836. 
On voit donc que ce que divers auteurs ont appelé limite 
d’une série, lorsqu'elle n’est pas convergente, c’est la valeur 
particulière de sa fonction génératrice par extension, sans dou- 
te, du fait que c’est aussi la valeur de la série lorsqu'elle est con- 
vergente. [1 y à là malheureusement une confusion à laquelle 
il serait bon de remédier par l'emploi de termes plus précis; 
mais il me semble que Catalan, dans le traité passablement 
étendu qu’il a publié sur cette matière, aurait dà éclairer son 
lecteur sur ce sujet, plutôt que de s’en débarrasser très-sim- 
plement en disant que c’est un non-sens. 
C’est en ne tenant pas compte de cette acception étendue 
du mot limite que, traitant la question de la transformation 
des séries, il ne l’a admise que pour les séries convergentes 
et qu'il a dit: « plusieurs géomètres ont prétendu transfor- 
mer certaines séries divergentes en séries convergentes. Nous 
croyons que cet énoncé est un non-sens.» 
Mais si on se propose de trouver au moyen d’une série 
divergente, dont la loi est connue, la valeur de sa fonction 
génératrice, on comprend que, comme le dit Lacroix « toute 
suite n'étant autre chose qu'un développement de cette fonc- 
tion prise depuis x = 0 à x — infini, les diverses manières 
d'exprimer ce développement fourniront des suites équiva- 
lentes ou des transformées de la même suite. » | 
