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De sorte que si l'on peut dériver une série convergente 
d'une première série divergente donnée, celle-là sera propre 
à calculer la fonction génératrice. 
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 Aïnsi on voit que la formule me donne les deux suites 
ci-dessous: 
æ g° 4 ja 
Tandis que la première est convergente pour # < 1, la se- 
conde est divergente: elles sont pourtant le développement 
de la même fonction. 
1 .. . 
_Pourz = —- la première donne des valeurs qui appro- 
3 £ Matt 
chent de plus en plus de ——, valeur de la fonction génératrice: 
elle est donc propre à en trouver la valeur, et non pas la se- 
conde qui est alors: 
3 — 32 + 35 — etc. 
Or si l’on se propose de calculer la fonction primitive, il 
il n’est pas absurde de chercher à transformer la seconde sé- 
rie en la première plus appropriée à ce but, 
Ce qui a rapport à ces transformations rentre dans la théo- 
rie des fonctions génératrices, traitées par Laplace et par Eu- 
ler. Celui-ci a employé un procédé algébrique fort simple 
(voyez Lacroix, tome IIT, page 344), qui consiste à faire dans 
la suite f —ax — ba? + caÿ — dat + ... 
y | LA 
RE DRE Fe Br Be 2 
On obtient ainsi la transformée: É 
æ x? à xS 
D be: a te ape NT RE FRE PAR ee 
ou Aa, A? a etc. sont les différences premières, secondes des 
coëfficients de la suite. 
Quand la série des coëfficients a des différences constantes, 
on obtient exactement la somme f, et dans beaucoup d’au- 
tres cas on transforme une série divergente en une série con- 
vergente propre à calculer la valeur de la fonction généra- 
tricet 
