12 Alfred Loewy. 



mithin 



l=n m=n / = ii m = n 



i = 1 in = 1 I = 1 m= 1 



Unsere Transformation ist also eine Hermite'sche. 



Bei einer Hermiteschen Transformation: ./■, = ^cnSk k-mm man, wenn 



man die xi als homogene Coordinaten eines Punktes interpretirt, nach Punkten 

 fragen, die mit ihren zugeordneten zusammenfallen; man erhält sie, wenn 

 man a-,- = if, ^ setzt. Für Betrachtung derartiger Punkte ist daher die Gleichung: 



- + (Cll — Q) (C22 — (?) (f33 —?)••• (C„„ — Q) --^ « 



von Wichtigkeit. Man nennt diese Gleichung die charakteristische 

 Gleichung der Transformation. Von ihr gilt der wichtige 8atz des Herrn 

 Frobenius: ^) 



Damit eine Substitution geeignet sei, eine quadratische Form 

 von nicht verschwindender Determinante in sich selbst zu trans- 

 formiren, ist nothwendig und hinreichend, dass die Elementar- 

 theiler ihrer charakteristischen Function paarweise von gleichem 

 Grade sind und für reciproke Werthe verschwinden mit Ausnahme 

 derer, die für den Werth -(- 1 oder —1 verschwinden und einen un- 

 geraden Exponenten haben. 



Bei einer eigentlichen (uneigentlichen) Transformation ist die Anzahl 

 der Wurzeln (> = — 1 immer eine gerade (ungerade). Bei einer uneigent- 

 lichen Transformation und geradem n sind p — + 1 Wurzeln der charakteri- 

 stischen Gleichung.'-) 



Wir zeigen noch, dass die von uns gefundene Klasse von Trans- 

 formationen eigentliche sind, d. h. 



-± ''.,'■■..•.. • • C"" = + '• 

 Miiltiplicirt man : 



- ± (c, , - (?) I'-.. — e) • • • (c«« — (?) 

 nach dem Deteiminantengesetz für die Multiplication mit a (/••, /) und beachtet 

 hierbei die Werthe der c nach p. 10 und die Relation: 



■11: ;^" '3'" ZÄ,,,^,,a-.Jj,„ -f lu^J — 2kA,^^,A, 



1) Frobenius, Crelle's Journal 84, p. 41. 



2) Ib. p. 35. 



