22 Alfred Loewy. 



5'l + ?'2 + • . . + Yn-,„~1 — , 



j'i j'2 n + ya j'3 /4 + • • ■ = 'J 



statthabeu , d. li. die Summen aller ungeraden Combinationen der y müssen 

 verschwinden. 



Daher ist die Substitutionsdeterminante (— 1)'". 



Beschränkt man also die f in ihrer Variabilität auf eine ungerade 

 Anzahl von Ebenen, so erhält man Formeln für uneigentliche Transformationen. 

 Für gerades »i erhalten wir weitere eigentliche Transformationen, die von 

 denen des § 1 verschieden sind. Die im § 1 gegebenen Formeln gehen bei 

 einer orthogonalen Substitution in die berühmten Cayley'schen ') über; sie 

 sind auf einem anderen als dem von uns eingeschlagenen Wege von Herrn 

 Frobenins ^) gefunden worden, und derselbe hat für sie den Satz bewiesen, 

 dass sie jede Hermite'sche Transformation darstellen , deren charakteristische 

 Gleichung nicht die Wurzel — 1 hat. P>s besteht nun folgender Satz^): 



Beschränkt man die t auf m Ebenen, so hat die charakte- 

 ristische Gleichung für die Transformation die jh fache Wurzel — 1. 



Daher sind die weiteren eigentlichen Transformationen, die wir fanden, 

 so beschaffen , dass ihre charakteristische Gleichung — 1 eine gerade Anzahl 

 mal als Wurzel enthält. Diese Transformationen hat Herr Frobenius*) 

 durch Grenzübergang aus den eigentlichen des § 1 gewonnen, in den von 

 uns aufgestellten Formeln ist kein Grenzübergang vorzunehmen, dafür aber, 

 um explicite Transformationsformeln zu erhalten , die P^limination der ein- 

 geführten Hilfsvariabeln. Für die Rechnung bei speciellen Transformationen 

 dürften sich die hier gegebenen P^ormeln bequemer gestalten. 



Zusammenfassend kiinnen wir folgendes Resultat aussprechen: 



Eine quadratische Form 2' 2' rf,t :/■,.*';, von nicht verschwinden- 



i 1: 



der Determinante wird in sich übergeführt: 



') Cayley, Crelle's Journal, Bd. 32, p. 119 tig. 

 ^) Frobenius, Crelle's Journal, Bd. 84, p. 37. 

 •*) Den Beweis dieses Satzes geben wir p. 26. 

 *) Crelle's Journal, Bd. 84, p. 44. 



