Ueher die Transformationen einer quadratischen Form in sich selbst u. s. w. 25 



Seien S'' und ^' zwei Liisungssysteme, die zu den zwei Wurzeln p"" 

 und ()' gehören, so ist: 



2) ^s^f^if) = ^^i:f,{f). 



Daraus folgte): 



Sobald (>' niclit einen der ausgezeichneten Werthe + 1 

 hat, ist: 



^i;/;iir'' = 0, 



d. li. ;?' erfüllt die l^edingung /' (.r) =: und die in sich trans- 

 formirte Form: 



ist die Tangentialraannigfaltigkeit an f {x) = im Punkte §'. 

 Ferner besteht nach 2) zwischen je zwei Lösungssystemen, die 

 zu nicht reciproken Wurzeln gehören, die harmonische Be- 

 ziehung: 



^^'■f,(§') = 0. 



Wir hatten im vorigen Paragraphen die folgenden n linearen Formen 

 gefunden, welche bei den Transformationen des § 2 in sich übergehen: 



1 ) m F r m e n v : 



li^i'x. = —^!^f§^, j= \.-2..ni, 



2) eine Form w: 



^ «■, ,?•,■ =^ 2 w, Si , 



3) n — m — 1 P'ormen in: 



, ' ' f^ — yp i ' '' 

 für 2, = 1, 2 . . }i — m—\. 



Die m Ebenen r'" sind für die Transformation willkürlich zu 

 wählen; ebenso ist die iv Ebene willkürlich; nur muss sie den 

 m Bedingungen: 2A^^v\-" w^ = o für / = i, 2 . . m genügen. Die n — m — 1 

 w Ebenen sind sämmtlich durch den Charakter der Transformation 

 eindeutig bestimmte Tangentialebenen, die zu den r'-" und ?r con- 

 jugirt sind. 



1) Voss: Aniialen XIII, p. 323, hat diese Sätze fiiv orthogonale Substitutionen 

 aufgestellt. 



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