26 Alfred Loewy. 



Diese n Formen sind, wenn alle {>" verschieden sind, mit den n Formen 

 -?ifi {•'■') identisch, da bei einer Herraite'scheu Transformation nur n un- 

 abhängige Formen in sich transtbrmirt werden ; sind nicht alle (>' verschieden, 

 so sind jene Formen wenigstens aus diesen linear coniponirbar. Für jede in 

 sich transtbrmirtc lineare Form h galt: 



I l 



wo (j' eine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Daher ergiebt sich 

 aus den bei unseren ;/ Formen auftretenden Factoren des Ueberganges, dass 

 die charakteristische Gleichung die w fache Wurzel — i, die einfache -f- 1 und 

 II. — )n — 1 Wurzeln ~ti'^ , ,, = i 2 ..» — »/— l) besitzt. 



Hiermit ist auch der p. 22 ohne Beweis aufgestellte Satz erhärtet. 

 Nach dem Satze von Frobenius (p. 12) muss, wenn n — m — 1 ungerade ist, 

 d.h. n und m gleichzeitig gerade oder ungerade, eine der « — -m — 1 (lirössen 

 Yp Null sein ; die übrigen Factoren des Ueberganges sind reciprok. Wenn 

 n — m — 1 gerade ist, zerfallen die ;-,, in zwei Systeme von '^ '^^^^ Grossen 

 mit entgegengesetzten Vorzeichen; wenn w — m — 1 angerade ist, ist eine der 

 Grössen y,, Null und die übrigen n — m — 2 zerfallen in zwei Systeme \on 

 je '— ^'-^^ Grössen mit entgegengesetzten Vorzeichen. Hieraus ergeben sich 

 die Relationen, welche wir p. 22 für die ;' aufstellten ; aber auch umgekehrt 

 könnte man aus den dort anfgestellten Kelationen unsere jetzigen Resultate 

 herleiten. 



Wenn n — m — 1 ungerade ist, so geht eine v) Form, da ein ;- Nnll 

 ist, in sich ohne constanten Factor über; dieses v) sei mit J bezeichnet, dann 

 geht das Büschel » + /-/=() und jeder Repräsentant desselben in sich 

 über. In diesem Büschel ist ausser w noch eine allgemeine Mannigfaltigkeit 

 enthalten; es bleiben also »* + 2 allgemeine Mannigfaltigkeiten fest. Es ent- 

 steht daher die Frage, ob man nicht bei ungeradem w — m — 1 veranlassen 

 kann, dass ebenso wie bei geradem n — m — 1 kein Büschel iv-\-l^i^=^ in 

 sich übergeführt wird; diese Frage ist natürlich zu bejahen. Man braucht 

 nur zur iv Ebene eine Elbene mit variablen Coefticienten u zu wählen; man 

 kann unsere obigen Schlüsse auch noch anweiulen , es bleiben dann aber die 

 Ebenen f'-" und ■« — jh- Tangentialebenen vi fest. Da die /' und Z selbst, wenn 

 man die iv Ebene fest wählt, von u abhängen, so hat diese Wahl der w Ebene 



