Ueher die Iransforniafioneii einer quadratischoi Form in sich selbst u. s. w. 29 



i?.j geben. Dem P^'alle n = 5 entspricht die Darboiix'sclie Kug'elgeometrie 

 und in der Pliicker'sclien I^iniengeoraetrie die Transformation eines festen 

 linearen Complexes in sieh : dem Fall n = 6 entsprechen die Beriihrnnss- 

 transforraationen der Lie'schen Kugelgeometrie und die Collineatiuiien und 

 Correlationen der Pliicker'schen Liniengeometrie. 



§ 5. 



Die Plücker'sche Liniengeometrie und die Correlationen. 



In der Pliicker'schen Liiiiengeometrie betrachtet man die (Gerade als 

 durch sechs homogene Coordinaten ^^j p^ p^ 2>^ Pr, p^■ , zwischen denen eine 

 quadratische Relation : 



bestellt, die aber sonst beliebig variaijel sind , gegeben. Wir können uns die 

 sechs Grössen ^;/.. i^ :== I.2..G) als sechs homogene Coordinaten eines Punktes 

 im i?5 denken ; dann wird die C4esammtheit aller Geraden des Äj , die eine 

 vierfache Mannigfaltigkeit konstituiren, aus dem JRr, durch die quadratische 

 Gleichung P =: ausgeschieden. Die Liniengeometrie ist daher eine Geo- 

 metrie , die sich auf sechs homogenen Coordinaten , zwischen denen eine 

 quadratische Gleichung besteht, aufbaut; sie ist daher ähnlich analytisch zu 

 behandeln wie die Geometrie einer Fläche zweiten Grades im 7?.,; sie ist 

 Geometrie einer J/f im E^A) 



Da die Bedingung des Schneidens von zwei Geraden mit den Coordinaten 

 }) und p': 



eine Polarenrelation ist, so ergiebt sich folgender Satz: 



Setzt man statt der Liniencoordinaten p beliebige lineare 



Functionen derselben, die nur der einen Bedingung genügen 



sollen, die 



3£f : P = 



in sich zu transformiren, so hat man eine collineare oder reciproke 



') F. Klein: Liiiiengeometrie und metrische (Jecimetrie: Annale« V, p. '258 und 259, 

 p. 262 und 263. 



