rrhrr die TraiisfoniKif/onoi r'nicf quathafiscJicn Form in sich selbst u. s. w. 39 



Die Aiisrecliimiig (.'rgiebt: (^— i)'. o+iv. 



Dieser Fall wird charakterisirt diireli: [3,(1,1,1)]; für die dreifache 

 Wurzel -|- 1 verscliwiiuleii nicht alle ersten Unterdeterminanten, tür die drei- 

 fache Wurzel — 1 verschwinden alle ersten und zweiten rnterdeterniinanten. 



§ <5. 

 Die zu den aufgestellten Correlationen gehörigen in sich übergehenden 



Complexe. 



In der allgemeinen Theorie sahen wir, dass >n. allgemeine lineare 

 Mannigfaltigkeiten ?''■", eine zu diesen conjugirte w, sowie ii — in — 1 Tangential- 

 mannigfaltigkeiten c» durch unsere Transformationen in sich übergehen. Diese 

 letzteren Mannigfaltigkeiten sind zu den )ii -\- 1 Ebenen r'-" und ir conjugirt. 

 Für die Liniengeometrie sind diese Mannigfaltigkeiten lineare Complexe, die 

 Tangentialmanuigfaltigkeiten sind specielle lineare Complexe. Die Bedingung 

 des Conjugirtseins von zwei Mannigfaltigkeiten bedeutet das Verschwinden 

 der simultanen Invariante der zwei linearen Complexe und hiermit ihre in- 

 volutorische ijage.') Wenn man dies auf die im § 5 gegebenen kanonischen 

 Formen anwendet, erhält man folgende Resultate: 



Nr. 1. Es werden transformirt: 



1) j>, — ^>, = in j)\ — p\ ;= ü. 



2) l'.+P. = <' ,, - 0'', +K) = ')• 



•2 k — o., , 



0)7'., = ') " 2F+a:^''> = '^- 



Die zwei allgemeinen Complexe sind involutorisch; die vier speciellen 

 Complexe liegen involutorisch zu ihnen, d. h. ihre Achsen sind (leraden der 

 Congruenz: 2),-\-l'^ + ^'■(J'l — i'j' = '*• l^i^ Achsen der vier speciellen Complexe 

 gehen bei der Transformation in sich über, sie sind Kanten eines Tetraeders, 

 dessen zwei fehlende Kanten von den Directrices der oben erwähnten Con- 



') F. Klein: Math. Aiinaleii Bd. II, p. 201: Liuienconiplese ersten und 

 zweiten Grades. 



