44 Alfred J.oewy. 



§ 7. 

 Die Darboux'sche Kugelgeometrie und die Transformation durch reciproke 



Radien. 



Für den Vn\l von fünf Variablen bietet sicli als Aiiwendiuigsf'eld für 

 unsere Transformationen die von Üarboux in die Wissenschaft eingeführte 

 Kiig-elg-eometrie oder Geometrie der pentasphärischen Coordinaten.i) Diese ist 

 dadurch charakterisirt, dass sie die Punkte des A';, sich aus einem 4 dimen- 

 sionalen Kaume B^ durch eine quadratische GleichnKg ausgeschieden denkt. 

 Um das Coordinatensystem zu detiniren , legen wir fünf Kugeln 

 (S,,) k^ 1,2,8,4,5 mit den Kadien B,, unserer Betrachtung zu Grunde. 



Je zwei dieser Kugeln sollen sich orthogonal schneiden. 'Slit S,, sei 

 die Potenz eines Punktes in Bezug auf die A"^ Kugel bezeichnet, dann sind 

 die fünf homogenen pentasphilrischen Coordinaten s,, detinirt als: 



WO /.■ = 1, 2, 3, 4, 5 und /. ein Proportional itätsfactor ist. Zwischen den s,, 

 als ü))erschüssigen Coordinaten besteht die quadratische Relation: 



*■ ---l ' ■ 



Sind fünf willkürliche Grössen, welche nur die Relation 1 erfüllen, ge- 

 geben, so bestimmen sie stets einen Punkt des R.^. Wir müssen noch be- 

 merken, dass auch einige der Coordinatenkugeln in Ebenen üljergehen können, 

 dann ist für die Potenz 6',. der doppelte Abstand des betrachteten Punktes 

 von dieser Coordinatenebene zu setzen. Sind die fünf Grössen s,, ausser durch 

 die quadratische Relation 1 noch durch die lineare Gleichung: 



2) :^ nikSt = 0, 



1) Darboux befand sich schon 1868 im- Besitze derselben. Vergl. F. Klein: Annalen V, 

 p. 259 und 261 : Liniengeometrie und metrische Geometrie, sowie die wichtige Abhandlung von 

 S. Lie: Heber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe mit Anwendungen auf die 

 Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Aunalen V, p. 187. Ausführlicher dargestellt 

 ■wurde die Kugelgeometrie 1873 tou Darboux selbst in: ,,Sur une classe remarquable de 

 courbes et de surfaces", p. 131 und p. 256 ff. („sur un neuveau sy.steme de coordonue'es"). 

 Vergl. G. Darboux: Le<;ous sur la theorie generale des surfaces. Vol. I, livre II, ohapitre VI, 

 p. 213: Les coordonnees pentaspheriqnes. 



