Ueber die Transformationen einer >ß(<i<hatischcn Form in sich seilst u. s. ir. 45 



Avo die ni,. Coiistanten sind, \erknüpt't, so wird durch die (Tesaniratheit aller 

 derjenigen Punkte, deren Coordinaten den Gleicliungen 1 und 2 g-leiciizeitio- 

 genüg-en, eine Kug-el (im speciellen Falle, falls 2'"- = o ist, eine Ebene) be- 



stimmt. Ist :imi=zO, so ist die Kugel in einen Punkt mit den penta- 



»phärischen Coordinaten ni,, degeuerirt. Zwei gegebene Kugeln 



* = ,-) /.■ = .-, 



2' /«,.*■,. = (I und :sm' s = 



k ^ 1 ' ' *■ — 1 ' ' 



schneiden sich orthogonal, falls die simultane Invariante h »i m' = o ist Ist 



1 * '■ 

 in der Kugelgleichung ein w,, = 0, so bedeutet dies: die Kugel schneidet die 

 Coordinatenkugel S,, orthogonal. Auch in der Darboux'schen Kuo-el- wie in 

 der Plücker'schen Liniengeoraetrie hat, wenn z^Nci Punkte mit den Coordinaten 

 St und s[ gegeben sind, die Polarform 



:^ ~ s' = 



eine geometrische Bedeutung; sie sagt aus: die zwei Punkte haben ver- 

 schwindenden Abstand. ') 



Im Folgenden werden uns hauptsächlich lineare Transformationen der 

 Sj. beschäftigen, welche 2^ sj. = o in sich überführen. Eis gilt min der wichtige 

 Satz des Herrn Felix Klein'-): 



Der Gesammtheit der linearen Transformationen des J?^ , 

 welche die 



ilff li'S- =: 



in sich überführen, entspricht im i?.; ein Transformationscyklus, 

 der sich aus dessen Bewegungen, den Aehnlichkeitstrans- 

 forraationen und den Transformationen durch reciproke Radien 

 zusammensetzt. 



Man kann diesen Satz auf eine von dem Klein'schen Beweise ver- 

 schiedene Art darthun. Bei cogredienten linearen Transformationen, die -S = 

 in sich überführen, wird auch die Polarform 



1) Verschwindender Abstand heisst nicht etwa zusammenfallen ; denn wir betrachten 

 auch imaginäre Punkte. Solche Punkte sind Punkte einer Minimalkurve. 



2) Annakn V, p. 267. 



