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in sich traiisforniiit; dalier ^elicii Punkte mit \erseinvindeiider Distanz in 

 analoge über und dalier Mininialkurven in Minimalkur\en. Fulglicli ist die 

 Transformation für den Uebergang von zwei Flächen in einander contbrm, 

 d. h. sie erhält die Winkel, denn zur contbrmen Abbildung von zwei Flächen 

 auf einander ist das Ueljergeheii der ]\linimalkurven der einen Fläche in die 

 der anderen nothweudig und hinreichend. Durch unsere Transformation 

 werden Kugeln in Kugeln übergeführt: da die Mininialkurven auf der Kugel 

 zwei Schaaren von Minimalgeradeii sind, so gehen .Minimalgerade in Minimal- 

 gerade über. In Folge dessen kiinnen wir zeigen, dass der Winkel von zwei 

 sich schneidenden Geraden bei der Transformation erhalten bleibt. Der Winkel 

 von zwei Geraden ist unter Hinzufügung der zwei durch ihren Schnittpunkt 

 gehenden, mit ihnen in einer Ebene liegenden Minimallinien detinirt als -J 

 (Doppelverhältniss der \ier Geraden). Bei unserer Transformation gehen 

 Minimalgerade in Minimalgerade über: es bilden sich daher die vier 

 schneidenden (leraden auf eine Kugel als zwei durch einen Punkt 

 gehende Kurven und zwei durch denselben Punkt gehende Minimalgerade oder 

 auf eine Ebene als vier Gerade eines Büschels, von denen zwei Minimal- 

 gerade sind, ab; da jede Transformation im Unendliclikleinen linear ist, so 

 bleibt das Doppelverluiltniss und folglich der Winkel erhalten. Da der Winkel 

 von zwei sich schneidenden (Tc-raden erhalten bleibt, so auch der von Ebenen 

 und der Schnittwinkcl von Flächen, d. h. ihrer Tangentialebenen. M Nun gilt 

 der Satz von Liouville:'-') ,,.Iede Punkttransformation, bei der Aehnlichkeit in 

 den kleinsten Theileii statthat, lässt sich aus einer Transformation durch 

 reciproke Kadien, einer Bewegung und einer Aehnlichkeitsforuiation zusammen- 

 setzen." Hiermit ist der Satz des Herrn Klein bewiesen. 



Man ersieht also, dass man durch Diskussion der Gleichung S^Q 

 den gesammten Tlieil der metrischen Cieometrie erhält, der durch reciproke 

 Kadien uugeändert bleibt, wie sich die gesamnite Liniengeometrie an die Dis- 

 kussion der entsprechenden (Tk'ichung P^ anknüpft. 



lievor wir auf diese Aufgabe eingehen, geben wir noch die Formeln 

 für den Uebergang \on pentasphärischen zu homogenen Coordinaten. Seien 



1) In Bezug auf derartige Beweise vergl. Clebsch-Liiidemaun II, 1, p. 428. 



2) Liouville in den Anmerkungen zu Monge 's A ppl i i-at ioiis de I'analyse. 

 Note VI. ]i. GOil — 61C. Vergl Lie: Annalen V, p. 184. 



