Ueher die Transformationen einer qii<«lratis<:]icn Form in sieh seihst u. s. n\ 47 



.Ti r., .r3 rr^ die vier homogenen Coordinaten eines Piuiktes, des /?.. , so kann 

 man fünf Grössen dnrcli folgende Definitionen einführen: 



Zwischen diesen fünf Grössen besteht dann die Relation: 



Defiiiiit man daher Sj s., dnrch folgende Gleichnngen : 



so besteht zwischen den s, die gewünschte Relation: 



1.^ = 0. 



1 



Die fünf (Trossen s, sind daher als pentasphärische (Koordinaten zu 

 betrachten, es ist: 



. ^ ■'"'i — ^'i ■«! — (a-' i + xi + xl) 



'""' 2 2 ' 



.S', + .S', x\ + oil + xl + x'l 



■''■- 2t 2i ' 



Unsere fünf Fundamentalkngeln sind die drei rechtwinkeligen Co- 

 ordinatenebenen: 1) .t — o, 2) ^ i^ o, 3) r = o, sowie die zwei Kugeln: 



4) ,f2+//2 + ^^ = + l, 5) ,:i -^ ,,^ J^ r, ^ _,.i) 



Die homogenen Coordinaten .,i .d xs .- 1 drücken sich durch die penta- 

 sphärischen Coordinaten s, auf folgende Weise aus: 



Aus diesen Transformationsformeln ersieht man, dass, wenn ausser 

 der Relation S = zwischen den s, nocli eine beliebige quadratische Gleichung 

 besteht, sie sich in homogenen Coordinaten: 



i.'-; + 'i + ■'■'])' + /; •'•. 1^-; + -'1 + yi) + 1: < = 



schreiben lässt; hierbei sind t\ und /', Ausdrücke ersten bez. zweiten (Trades 

 in den ./. Eine Fläche, welche durch die obere Gleichung repräsentirt wird, 

 heisst eine allgemeine Cyklide. 



') Eine Coordinatenkugel ist nulltheilig , d. h. sie liat rein imaginäi-en Radius. Von 

 fiinf Kugeln, die sich zu je zwei orthogonal schneiden, muss stets eine, kann aber auch nur 

 eine, nulltheilig sein. 



