48 Alfred Loewy. 



Nach diesen vorbereitenden Betrachtungen beschäftigen wir uns jetzt 

 mit den Transformationen der Gleichung S = in sich. Diesen entsprechen 

 Eeweo-ungen, Aehnlichkeitstransforraationen und l'ransformationen durch reci- 

 proke Kadien. Unter dieser Gruppe von Transformationen giebt es eine be- 

 sonders wichtige und interessante Gruppe, nämlich diejenige, bei welcher die 

 unendlichferne Ebene in sich übergeht. Bei dieser speciellen Gattung von 

 Transformationen transformirt sich, wie bei der allgemeinen Transformation, 

 der unendlich ferne Kugelkreis in den unendlichfernen Kugelkreis, sowie die 

 unendlich ferne Ebene in sich selbst. Daher wird 



■r, + if + 5--' in >'i [{.'' — aV + (i/ - h'' + {f — cf] 

 libero-eheu, wenn der Nullpunkt sich in den Punkt mit den Coordinaten «, h, c 

 transformirt: m ist eine Constante. Die Transformationen dieser speciellen 

 Gruppe setzen sich aus Translationen, Rotationen, Spiegelungen und Aehnlich- 

 keitstransformationen zusammen. M Man kann es auch stets so einrichten, 

 dass m = \ wird, dann bleiben nicht nur die Winkel, sondern auch alle 

 Maassverhältnisse ungeändert.2) Wir haben dann nur eine Bewegung des 

 Raumes. Damit die unendlich ferne Ebene in sich übergehe, braucht nur 

 Si+ix-i in sich transformirt zu werden. 3) Transformirt man .r^ -\- i/'- -{■ --^ in 

 ,„ (,,.'ä^,/'ä_j_ .'21, so sind Translationen ausgeschlossen. 



Die verschiedenen ^löglichkeiten für die Wurzeln der charakteristischen 

 Gleichung der Transformation, die S in sich überführt, sind: 



a. für uneigentliche Transformationen: 



ii Von einem ganz anderen Gesichtspunkte ist diese Gruppe in Clebsch-Li u de- 

 mann 11, p. 373 — 383, betrachtet. 



2) Vergl.F. Klein : Ueber die uichteuklidische Geometrie. Anualen IV, p. 602 und 603. 



3) Man beachte: Die unendlichferne Ebene Xt = stellt sich in pentasphürischcn 

 Coordinaten wie ein Punkt dar; dasselbe gilt von dem unendlichfernen Kugelkreise, nämlich 

 /•i — ««ä =zz 0, auf ihr. 



