60 Alfred Loewy. 



§ 10. 

 Zusammenhang zwischen Darboux'scher Kugel- und Plücker'scher Linien- 

 geometrie, sowie die Transformationen eines linearen Liniencomplexes 



in sich. 

 Die für die Darboux'sche Kugelgeometrie auseinandergesetzten Be- 

 trachtungen lassen sich sofort in die Sprache der Liniengeometrie übersetzen 

 und für die Transformation eines linearen Liniencomplexes in sich verwerthen. 

 Zwischen den Punkten des B^ und den Geraden eines linearen Linien- 

 complexes besteht nämlich eine eindeutige Beziehung, i) In der Linien- 

 geometrie besteht zwischen den sechs Grössen pi die Bedingung: 



P = Ptp4+PJh+2hlh = ^' 



in der Kugelgeoraetrie zwischen den fünf Grössen si die Relation: 



S = ^s; = 0. 

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Setzt man: 



P, — Q (»i + *^.. ') Pi = Q i^i — •"*> '•) 



Po. = Q (s, + s, i) 2h = e («3 — s, i) 



• P, = ?*'r, Pe = QS,, 



wo ^ ein Proportionalitätsfactor ist, so wird P in S transformirt. 

 Es ergiebt sich dann: 



Man ersieht also, jedem Punkt mit pentasphärischen Coordinaten si 

 entspricht eindeutig eine Gerade des allgemeinen linearen Coraplexes ^^^ ;= 2>6i 

 umgekehrt bildet sich jede Gerade dieses Complexes, aber auch keine Gerade 

 eines anderen Complexes, in einen Punkt des B^ ab. Da jeder allgemeine 

 Complex sich in die Form 2>, = p^ bringen lässt , so ist der Satz von der 

 eindeutigen Abbildung der Punkte des i?^ in die Geraden eines linearen 

 Complexes bewiesen. 



1) Auf diese Abbildung hat HeiT Nöther: Zur Theorie der algebraischen Functionen, 

 Göttinger Nachrichten 1869, zuerst aufmerksam gemacht. Vergl. Lie, Annalen V, p. 183 und 184. 



