Ueher die Transformationen einer quadratischen Form in sich selbst ii. s. w. 61 



Bei unserer Abbildung bilden sich zwei Punkte mit den Coordinaten s, 

 und s'i, die von einander verschwindende Distanz haben, in zwei sich 

 schneidende Geraden ab, da sich die Polarformen in einander transformiren. 

 Bei den conformen Punkttransformationen gingen zwei Punkte, die ver- 

 schwindende Distanz haben, in analoge über, daher gehen vermöge der Ab- 

 bildung zwei sich schneidende Geraden bei dieser Transformation in zwei 

 sich schneidende Geraden über. Durch unsere Abbildung entsprechen allen 

 Punkttransformationen, bei denen Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen statt- 

 hat, alle collinearen und dualistischen Rauratransforraationen , die den all- 

 gemeinen linearen Complex ^;,, := ^j,. in sich überführen. Mit der Trans- 

 formation von S ^ (t in sich, ist die gleichzeitige Transformation von P = o 

 und p,^ =; 2},; verbunden. Bleibt in der Darboux'schen Kugelgeometrie eine 

 Kugel beziehentlich Ebene fest, so in der Liniengeometrie ein allgemeiner 

 linearer Complex, der p, = p^ in einer Congruenz schneidet. Einer Tangen- 

 tialmannigfaltigkeit in den s, d. h. einem Punkte, entspricht eine Gerade, die 

 Pg = p^ angehört. 



Man bemerke noch, dass sich die Gleichung jeder Kugel 



.2" nii Si = , 



1 = 1 



in die Form 



i= 1, ä, 4, 5 



bringen lässt, wo m' feste Constanten sind, die sich aus den m vermöge der 

 Abbildung ergeben, der angeführte Complex ist zu ;j, = ^j^ involutorisch. 



Nr. 1 p. 49 und 54 in die Sprache der Liniengeometrie übersetzt, 

 giebt: Es wird p^^ = jr, in sich transformirt, ferner die Congruenz, in welcher 

 der zu ^;,. =i p,^ involutorische allgemeine Complex p^ -\-p^ = o den ersteren 

 triift, sowie vier Geraden dieser Congruenz. Dieser Fall ist der Fall Nr. 1 

 p. 30 und 39 in der Liniengeometrie, wenn man die Correlation nicht mehr 

 allgemein, sondern nur als Transformation eines linearen Complexes in sich 

 betrachtet. 



Analog sind die übrigen Fälle der Darboux'schen Kugelgeometrie in 

 die Liniengeometrie zu übertragen. Die in der Darboux'schen Kugelgeometrie 

 festbleibenden Cykliden übertragen sich in Complexe zweiten Grades; diese 



