62 Alfred Loewy. 



schneiden ^j. = p., in einer Clongrnenz erster Ordnung zweiter Klasse. Daher 

 erfüllen die Geraden des Complexes p^^ = p^. , die von ihren zugeordneten 

 geschnitten werden, eine Congruenz erster Ordnung zweiter Klasse; diese 

 wird durch die Transformation in sich übergeführt. 



§ 11- 

 Die Lie'sche Kugelgeometrie und die Berührungstransformationen. 



Im Anschluss an die üarboux'sche Kugelgeometrie kann man die 

 Transformation einer Form in sich, die wir für den Fall von sechs Variablen 

 für die Plücker'sche Liniengeometrie interpretirten , für n = ö von einem 

 neuen Standpunkte aus, nämlich dem der Lie'schen Kugelgeometrie beleuchten. 

 Wie Plücker die Gerade, so hat Herr Lie die Kugel als Raumelement ein- 

 geführt, i) Sei 



/= 1 



die Gleichung einer Kugel in pentasphärischen Coordinaten, «o bestimmen die 

 fünf Grössen m^. ///., . . )«, die Kugel; es empfiehlt sich aber, diesen fünf 

 Grössen eine sechste »/, beizufügen, welche durch die Relation 



v = K!<' 



wo / = 1 — 1 ist. bestimmt ist. Zwischen den sechs t!oordinaten ;«,, iii.,..w^^ 

 einer Kugel besteht dann die symmetrische Relation: 



M = 2' ml = . 



Umgekehrt kann man stets sechs Grössen, zwischen denen die quad- 

 ratische Relation M = statthat, als Lie'sche Kugelcoordinaten auffassen. 



Aus den sechs Grössen w^..m^. bestimmen sich die rechtwinkeligen 

 Coordinaten XYZ des Kugelcentrums, sowie der Kugelradius H: 



X = - "'-. , r = -^^ , z = "'-, , H = 



i )ii,. 



(ji, -I- im., ' m, + i JH._, ' ni, + i m„ ■>>i, + ' w. 



1) S. Lie; Annalen V, p. 170 Üg. Herr Lie bedient sieli der vier Grössen XYZII, 

 wo XYZ Coordinaten des Kugelmittelpimktes und i? Kugelradius ist, als Kugelcoordinaten. 

 Unsere Bestimmung durch die nii stammt von Herrn Darboux : Surfaces p. 227. 



