64 Alfred Loewy. 



Complex speciell, so gehört bei involiitorischer Lage die Leitkugel des 

 speciellen Complexes zu den Kugeln des allgemeinen. 



In der Lie'schen Kugelgeometrie kann man dem Complex zweiten 

 Grades eine einfache geometrische Bedeutung geben. Eine Gleichung 

 zweiten Grades zwischen den w, ist eine Gleichung zweiten Grades zwischen 

 XYZHp, also zwischen X' -\-Y'-\- Z\ X, Y, Z, H\ H. Betrachtet man in 

 dieser Gleichung H als constant, so giebt sie den Ort für das Centrum aller 

 Kugeln des Complexes, die den constanten Radius H haben; dieser Urt ist 

 eine Cyklide, die von H abhängt. Ein Kugelcomplex zweiten Grades besteht 

 aus einer unendlichen Anzahl Kugeln von beliebigem Radius H\ alle Kugeln 

 vom gleichen Radius H sind so beschaffen, dass ihre Centra auf einer Cyklide 

 liegen, die vom Werthe H des Kugelradius abhängt. 



Wir geben jetzt den von Herrn Lie stammenden fundamentalen Zu- 

 sammenhang zwischen Linien- und Kugelgeometrie, d. h. die Transformation 

 der Bedingungsgleichung P = o in 1/ = o . 



Man setze: 



p,^ = m^ -\- i m^ p.^ = wr, — i m^ 



p^ =^ 111^ -j- / m^ 2h = '"':, * '"'c > 



dann wird p,p^-j~2':l'-.+P;Pe = <J 'ii .^«r = u ti'ansformirt. 



1 ' 



Es ist: 



■ p>i — P3 



'"ö 2 " — 2 



Sind tn^, m„ . . ;«., welche die' Kugel schon eindeutig bestimmen, ge- 

 geben, so ist w;. nicht eindeutig bestimmt, sondern es kann positi\'es oder 

 negatives Zeichen haben. Hieraus folgt: A'ermöge unserer Abbildung ent- 

 spricht jeder Kugel ein Geradenpaar, bei dem luu- die Coordinaten p 

 und p^ vertauscht sind. Jeder Geraden entspricht hingegen eindeutig 

 eine Kuael. 



