Ueher die TransformaHonen ehicr_ quadratischen Form in sich seihst u. s. iv. 65 

 Da 



- ^^ Pi = 



1 = — m'. = 



traiisformirt wird, so gehen zwei sich berührende Kugeln in zwei fteraden- 

 paare über, deren gegenseitige Lage eine solche ist, dass jede Clerade des 

 einen Paares eine Gerade des zweiten schneidet. Zwei sich schneidende 

 Geraden bilden sich umgekehrt in zwei sich berührende Kugeln ab. Wir 

 haben daher in unseren ( 'oordinaten auch die von Heri'n Lie stodirte Ab- 

 bildung und können alle von ihm angewandten Schlüsse benützen, i) 



Linearen Transformationen der ;;, entsi)rechen jetzt lineare Trans- 

 formationen der nii\ wir können dalier den Satz aussprechen: 



„Unterwirft man die nu linearen Substitutionen, bei denen 



i«r = 

 1 



in sich übergeht, so hat mau die Grnppe aller Kugeltransformationen, bei 

 denen Berührung längs Krümmungslinien eine invariante Beziehung ist." 



M = in Bezug auf Hermite'sche Transformationen discutiren, heisst 

 nichts anderes als die Gruppe der oben genannten Kugeltransformationen 

 Studiren. Diese Gruppe ist sehr allgemein, sie umfasst Bewegungen, Parallel- 

 transformationen — darunter den Uebergang von einer Fläche zu einer 

 Parallelfläche verstanden — eine von Ossian Bonnet angegebene reciproke 

 Umformung, Transformationen durch reciproke Radien u. s. w. 



Bei der Diskussion von M =; o braucht keine neue Betrachtnng an- 

 gestellt zu werden; man kann vermöge unserer Abbildung alle in der 

 Plücker'schen Liniengeoraetrie gefundenen Resultate direct übertragen. Es 

 muss aber noch bemerkt werden, dass der geometrische Unterschied zwischen 

 eigentlichen und uneigentlichen Transformationen sich verwischt. 



1) Antialeu V, p. 180 flg. Einen von dem dort gegebenen abweichenden Beweis hat 

 Lie in den Göttinger Nachrichten 1871: „Zur Theorie eines Baumes von n Dimensionen" ge- 

 geben. Er beti-achtet dort die conformen Transformationen des 7?„ und zeigt, dass sie im 

 E„ — 1 Berührungstransformationen sind. 



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