[37] Die Gylden’sche horistische Integrationsmethode. 161 
erster Gattung integriren kann. Das Integral dieser Gleichung ist be- 
kamntlich:') 
BE E ds ne 
Yı = ca dns+oadns Fr £ K | + dns N f Ednsds (8) 
eine Integration, die wir hier indess nicht äbleiten, da, wie wir gleich sehen 
werden, die Gleichung (7) keinen entsprechenden Ausgangspunkt zur Inte- 
gration der Gleichung (6) sive (1) bietet. Aus dem Integral (8), in dem E 
das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung, 9,(@) die Jacobi'sche 
Theta-Function, dem Argument $—X entsprechend, c, und & zwei Integra- 
tionsconstanten bedeuten, ist nämlich ersichtlich, dass die Funetion V, 
Glieder enthalten muss, deren Coefficienten das Quadrat eines kleinen Di- 
visors als Nenner enthalten, welches offenbar in der durch das zweite Glied 
der Gleichung (8) geforderten Quadratur seinen Ursprung hat, vorausgesetzt, 
dass in Z Glieder sehr langer Periode vorkommen. Durch fortgesetzte 
Annäherungen würde man also auf dem eingeschlagenen Wege Glieder 
finden, deren Nenner mit immer höheren und höheren Potenzen der kleinen 
Divisoren, welche Potenzen also immer kleiner würden, multiplieirt wären, 
sodass die Glieder selbst immer grösser würden, wodurch man offen- 
bar auf divergente Entwickelungen geführt würde. Um nun derartige 
Entwickelungen zu vermeiden und vielmehr zu einer convergenten 
Lösung zu gelangen, bedarf es eines ganz anderen Ausgangspunktes als 
desjenigen, welchen eine Lame&’sche Differentialgleichung der Form (7) 
gewährt. Dieser neue, befriedigende Ausgangspunkt wird vielmehr durch 
eine „horistische“ Differentialgleichung von der in den Vorbemerkungen 
erwähnten Form (6) gewonnen. „Wie gross indessen die Schwierigkeiten 
sind, einen solchen neuen Ausgangspunkt zu finden“ (d.h. eben von der 
Gleichung (1) auf eine horistische Differentialgleichung zu gelangen), 
sagt Gylden selbst im Vorwort zu seinen Hülfstafeln, „kann man aus den 
1) ef. auch Gylden: Undersökningar af theorien för himlakropparnas rörelser. I, 
No. 24, 28. Bihang till K. Sv. Vet. Acad. Handl. Bd. 6, No. 8 („Untersuchungen zur Theorie 
der Bewegung der Himmelskörper“. Die vom Verfasser vorliegender Abhandlung ausgeführte 
deutsche Uebersetzung dieses übrigens grossentheils veralteten Gyld&@n’schen Werkes befindet 
sich im Besitz Herrn Professor Seeligers. 
cf. auch Hermite: Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Comptes 
rendus, 1877 2:e semestre. 
