[43] Die Gylden’sche horistische Integrationsmethode. 167 
— 16g {c0s22+29 (—1+c0s4x)+g? (cos 27+3 cos 6x) + 493 (—1 + cos 8x) 
+49 (1+.c0s4x)-+8g9? (—2 e08 2c+ 60822 + cos 62) + 4? (1+ cos dx +3 cos 4r+3 cos 8x) 
+8q? cos 2x h + 1693 (—1-+.cos 4x) 
+89? (cos 22+cos 6) + 1693 (—2 eos4x=+1-+-cos 8x) 
+ 4g3 (1+ cos 40©+3 cos 4x-+3 c0os8r) 
oder: 
4 2 
=) h2 cos 2 am =, (4 am en) — | 
E4 FL4 BL4 
(25) 
— 16g {e0os20+2q(1+3 cos 4x)+g?(9 cos20+ 19 cos 62) +49? (1+4cos4x+11cos8r) +... | 
Hiermit ist die zuvor gestellte Aufgabe der Entwickelung der Coeffiecienten 
der Gleichung (12) vollständig gelöst, indem das erste, zweite, dritte, vierte, 
fünfte Glied der rechten Seite hinsichtlich des Coeffieienten offenbar durch 
die Entwickelungen (21) bezüglich (24), (22), (21) mal — 
t2 
geben ist, sodass Gleichung (12) zunächst die folgende Form annimmt: 
und (25) ge- 
Ba f EL 
Fre 16q \ (1+9g2 sin 20+g? sin 62 gar a) | 
—. = 16g { cos 22+29 (—1-+cos 4x) + q? (cos 22+3 cos 62) + 493 (—1-+ cos 82) } .2 | 
—-2n 
| 
+ —. 16g {sin 2+4g sin 449g? (sin 2049 sin 6x) + 169? sin 8x } .2? 
—aly 
a. 16q {c0os22+2q(1+3ecos4x) +9? (9 cos22+19cos6x) +4q°(1+4cos4x+11cos8r) }.23 
e; 
(26) 
nz 
Hier sei darauf hingewiesen, dass Gyld&n bei dieser Differential- 
gleichung ebenso wie bei der Differentialgleichung, die zur Bestimmung des 
Radius Veetor dient, von vorneherein die Glieder dritten Grades mit- 
nimmt, da man nur so einen Ausgangspunkt gewinnt, der auf die horistische 
Form und damit zu convergenten Entwickelungen führt. Hören wir, was 
er selbst über diesen Punkt sagt (cf. Orbites absolues Seite 497); 
„En abordant les approximations successives (pour obtenir les inte- 
grales des dquations semblables & celles que nous allons &tablir dans le 
livre suivant) par lintegration dune &quation lineaire ou bien, ce qui revient 
au möme, d’un systeme d’&quations linaires, on n’arrivera pas toujours & 
des resultats satisfaisants. Et m&me, si en partant d’un resultat obtenu par 
lintegration d’un tel systöme, on continue, d'une maniere consequente, les 
22% 
