Untersuchmg über das Wesen der BesseVschen Formel, (p. 9) 145 



gleich f{—fi) ist, gilt auch die Reihe nicht mehr für die Grenzwerthe, 

 sondern nur für ^, die grösser als — /r, aber kleiner als -\-n sind. 



Wollte man die Uebereinstimmung der geschlossenen Form mit der 

 Reihe in beiden Beispielen prüfen, so müsste man für r resp. | nach und 

 nach verschiedene bestimmte Werthe einsetzen, also vielleicht 



l '^ u- 



X ^ ü , a; = + „ 'T , X = ± - TT , DIS X =: +71 . 



b D 



Dies würde aber hier umständlich sein, da die Reihen nur langsam convergiren 

 und zur Herstellung der Uebereinstimmung bis zu einer beliebig gewählten 

 Grenze eine um so grössere Anzahl von Gliedern in der Reihe berechnet 

 werden müsste, je iileiner die Grenze angenommen wurde. Man wird sich 

 aber durch einen beliebig herausgegriflTenen Werth von x davon überzeugen 

 können, dass durch eine gehörige Anzahl von Gliedern jede der Reihen genau 

 den entsprechenden Functionswerth darstellt. 



Nur einige specielle Fälle lassen sich leicht erledigen, da die dabei 

 auftretenden Summen schon bekannt sind: 



A. Für a" = hat man 



cos X = cos 2x = cos 3t =: . . . ^ 1 

 sin a; = sin 2a: =; sia Sa- ^ . . . ^ ü . 



Man erhält somit nach 



I '^ 3,4ri,M 11 l, 



'• - 2 = - 2 + H) LT2^" - U ~ -2^ +r~A^^-- 



"■ +' = ' + Ä[H--(l-i + i-i^+---)]' 



Damit beide Resultate bestehen können, muss 



1,1 1,1 1 



12"" = 1 -2^+3^-4^ 



TT^ = . — ^ -I- ' — -^; + . . . = . 8 2 2 4 6 6 



sein, was auch wirklich der Fall ist. Nimmt man z. B. alle Glieder bis 

 zu 2^2, so erhält man aus der Reihe 0.82 12 6, während die Hinzufügung 



von 2V2 den Werth 0.S23 53 liefert. Das Mittel beider ist 0.8 2 2 4, was 

 schon nahe dem Werth entspricht, welchem sich die Reihe bei Zunahme von 

 immer mehr Gliedern nach und nach nähert. 



Nova Acta LVIII. Nr 3. 19 



