150 Dr. Paul Schreiber, (p. 14) 



Es möge hier nur noch kurz der (4ang des Dirichlet'schen Beweises 

 angegeben werden. Dirichlet geht von einfachen Sätzen über die bestimmten 

 Integrale aus und schliesst folgen dermaassen: 



In der unendlichen Reihe 



fix) = — «(,+«, cos .r-{-a., cos 2>f + . . . 

 -{-h^ sin ./■-(-?>., sin 2.r -f- • • ■ 

 sollen die Coefticienten nach den ixleichungen 



-f.T +7, 



«m = — / /"(■<■) COS mx dx := I f{s) cos m.z dz 



— 71 — ZI 



+ .T 4-.T 



hm =: - \f(x) sin mx dx ^= - t\z) sin mz dz 



71 J 7T J 



71 



gebildet werden. Man kann zunächst, wie dies oben geschehen ist, in den 

 Ausdrücken für die ( 'oefticienten «,„ und hm unter den Integralzeichen für x 

 irgend welche andere Buchstaben setzen, da der Werth eines bestimmten 

 Integrales nur von der Natur der Function und den Grenzwerthen abhängig ist. 

 Nimmt man nun statt der unendlichen Reihe nur die (2//+1) ersten 

 Glieder derselben in Betracht, wobei also n eine ganze Zahl darstellt, die 

 gleich 3 z. B. ist, wenn man von der Reihe schon die sieben Glieder 



/■(a') =: «„+«1 COS .r + «j COS 2.i'-f-«3 COS 3.r-|-/>, sin x-\-h, sin 2,t-|-'':, siu 3vf 

 zur Darstellung der Function x für ausreichend erachtet, so wird der aus- 

 führliche Ausdruck für die Summe dieser (2h + 1) Glieder sein 



-f.T +.T -f.T 



f{x) = jr— / f{z) dz-\ — COS X / f{z) COS ,- dz -\ — cos Ix \ f{z) cos 2,r dz -\- ■ ■ . 



2. TT ^ TT '-.' TT <.' 



— .T — .T ,T 



+ " 4-T 



-|- ~ cos rix I f\s) cos nz dz -| — sin x j f[z) sin z dz 



7t .T 



-j- T "f -T 



-(- sin 2x I f{z) sin 2.r dz -|- ■ • • H sin )ix / f{z) sin » r dz . 



TT t.' ;V ■/ 



.T -T 



+ -■' 



= - J fi^) [2 + cos (S — T) -f cos 2 (z — x) -f . . . -f cos » U- — •*•)] <l^ 



+'■' _ 



, ff{z) sin (2« + l) '^^'' 



■I 



2iT I e- 



' sm — 



