Untersuchung über das Wesen der BesseV sehen Formel, (p. 15) 151 



Die Summe der aus (2*/-|-l) Gliedern bestellenden endlichen Reihe wird also 

 durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt, dessen Werth /"(«) gleich sein soll. 



Natürlich wird dies nicht genau der Fall sein, sondern zwischen /"(.c) 

 und dem Integral werden Unterschiede bestehen, die um so grösser sind, je 

 kleiner » ist, je weniger Glieder der Reihe also man zur Rechnung heran- 

 zieht. Je grösser aber n angenommen wird, um so mehr soll der durch das 

 bestimmte Integral ausgedrückte Werth sich der Function x nähern, und man 

 soll schliesslich durch eine genügend grosse Zahl von Gliedern die durch 

 das Integral ausgedrückte Summe derselben so nahe dem Functionswerth 

 Ijringen können, als man dies für nöthig erachtet. 



Lejeune-Dirichlet Itringt diesen Nachweis, indem er darlegt, dass 

 das Inteu'ral 



;/ 



sin(2w+l) ^~^ 



(z) dz 



Z — X 



sin -^^ 



bei unendlich wachsendem n sich immer mehr der Grenze - f{x + 0) + /"(.r — 0) 

 für alle zwischen den Grenzen — n und + n gelegenen Werthe von x bis zu 

 jedem beliebig kleinen Unterschied nähert und für die Grenzwerthe + n von x 

 den Werth | \f{n - 0) + f{— n + 0)1 annimmt. 



Wird also die Stetigkeit zwischen — n und -|-.t nicht unterbrochen, 

 so ist der Werth des bestimmten Integrales für unendlich grosse n genau der 

 f(x) gleich, selbst an der Grenze des Intervalles, falls f{.^) = f{—n) ist. 

 Die in Frage stehende Reihe muss also stets convergiren und an allen Stellen 

 zwischen +.7, wo Stetigkeitsunterbrechungen nicht stattfinden, die Function x 

 zur Darstellung bringen. 



