Erster Tlieil. 



Ausgehend von der Betraclitnno; des elliptischen KormalintegTals der 

 zweiten Gattung- als Function des Integrals erster Gattung- kann man zu einer 

 Einführung der -Jakobi'schen Thetatnnctionen gelangen. Das Problem lässt 

 sich aber auch so fassen, dass das ganze Verfahren auf Abel'sche Integrale 

 beliebigen Geschlechts übertragbar wird und die Thetafunctionen von }) Ver- 

 änderlichen liefert. Man braucht dazu nur zu fragen: Wie muss eine ein- 

 deutige Function einer ^'ariablen beschaffen sein, damit sie durch Einsetzen 

 des Normalintegruls erster Gattung an die Stelle der unabhängigen Variablen 

 zu einem Integral zweiter Gattung mit möglichst einfachen Eigenschaften wird. 

 Diese Fragestellung ist auf den Fall p>\ leicht zu verallgemeinern und führt 

 auf Functionen von p Veränderlichen. 



Im allgemeinen Fall legt man zur Vereinfachung der Ausdrucksweise 

 am besten eine Kiemann'sche Fläche zu Grunde; man kann natürlich auch 

 mit den von C leb seh und Gordan benutzten Hilfsmitteln auskommen. 



§ 1. Zunächst muss kurz auf den Fall der elliptischen Integrale ein- 

 gegangen werden. Das Normalintegral der ersten Gattung sei so gewählt, 

 dass es am Querschnitt a den Periodicitätsmodul +1 habe, sein Periodicitäts- 

 modul an h werde mit o bezeichnet (w hat dann einen Avesentlich positiven 

 imaginären Theil). Eine Function /"(v), welche durch Einsetzen dieses In- 

 tegrals lt. an Stelle der unabhängigen Variablen zu einer Function des Ortes 

 in der Fläche mit dem Charakter eines Integrals zweiter Gattung wird, muss 

 die Periodeneigenschaften 



f{v + 1 ) = /^(r) + A fiv + w) = f{r) + B 



und fiir endliches r nur ausserwesentlich singulare Punkte haben, welche dann 

 innerhalb eines Parallelogramms mit den Seiten 1 und cj nur in endlicher 



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