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Anzahl auftreten können. Es genügt völlig, wenn man Fiuictioiien bilden 

 kann, für welche A den Werth hat und welche nur einfache Unendlichkeits- 

 puukte besitzen, und zur Bildung von Norinalintegralen zweiter Gattung ist es 

 wünschenswerth, Functionen mit nur einem einfachen Unendlichkeitspunkt 

 innerhalb des Parallelogramms mit den Seiten 1 und w aufzustellen. 



Ist nun 0(iO eine ganze transcendente Function mit den Eigenschaften 



ÖCr-f 1) = c.G{r) 0(r + w) = e" + l^''.&{v) 



und mit Nullstellen beliebiger Ordnungen, dann ist — ' . = qt— mit einem 

 beliebigen constanten Factor multiplicirt eine Function mit einfachen Unend- 

 lichkeitspunkten und mit Periodeneigenschaften, wie sie von f{v) verlangt 

 wurden. Und während man für f{v) aus den gestellten Bedingungen nicht 

 gut direct einen allgemein giltigen analytischen Ausdruck aufstellen kann, ge- 

 lingt dies für ©(r) bei passender Specialisirung der Constanten c, a, ß sofort. 



Zunächst nimmt man c gleich +1 oder —1, um eine einfach perio- 

 dische Function zu erhalten. Die Function mit den Eigenschaften 



Qiv -f 1) = (— 1 )^ . (r) (r + lo) = e« -^^"^ . &{v) 



hat — wenn sie überhaupt existirt — die Ausdrucksform 



© {V) = i J,j . e + '-^ '■ (2 « + <l) ■ V 



— 00, 4- CO 



und ist eindeutig in dieser Weise darstellbar; daher ist die Forderung 



0(t, + w) = e«+'^".0(r) 

 oder 



— 00, + CO —00,4-00 



gewiss nur dann erfüllbar, wenn ß ein ganzes "S'ielfaches von 2.-r/, etwa 

 — 'iTTtö ist (das negative Zeichen wird hier gleich gewählt, weil sich dann 

 später ö als positiv ergeben wird und so eine nachträgliche Aenderung in der 

 Bezeichnung erspart bleibt). Und man erhält aus der Bedingung eine Be- 

 ziehung zwischen A^^ und ^4,^^^, aus welcher leicht für positives wie für 

 negatives m die Formel 



A /, — m .(t + 71 im {2k -\- n)(ii-\-ni [m- — m) <J . w jl. 



