Zur Theorie der Theiafimctionen von p Variablen, (p. 5) 225 



folgt. Zur Vereiiifacliung- kann man « gleich — ,t/(Jw oder etwas allgemeiner 

 u = —7tiöio-\-h7ci annehmen*). Dann tindet man 



k m 



— 00,-1-00 



wobei für Je ein Restsystem nach dem Modal \d\ zu setzen ist. Weil w positiv 

 imaginären Tlieil hat, folgt schon aus dem Quotienten zweier Glieder der 

 Keihe mit dem Summationsindex m ()>o als nothwendig und hinreichend zur 

 unbedingten Convergenz. 



Für wesentlich positiven imaginären Theil von o, und für positives S 

 existirt daher eine Function mit den Eigenschaften 



e(:V-\-\) = {—])!'. Q{v) @(^,_f-w) =^ (_i/(.e-?ri<)'(2y-(-w)_@(^) 



und zwar enthält sie homogen und linear d willkürliche Constanten. Inner- 

 halb des Parallelogramms mit den Seiten 1 und co besitzt die Function J Null- 

 stellen, wie das Kandintegral J qTI'^'' zeigt. 



Eine solche Function heist Thetafunction der Ordnung 6 und der Cha- 

 rakteristik g, h. Die Thetafunctionen erster Ordnung kann man durch Ver- 

 fügung über die eine noch willkürliche Constante in folgender Weise definiren: 



m 



^' ' — 00, -f 00 



Die Nullstellen sind in der Form (^' + 1) + (.</+ t'J _^ j^_^ _^^ ^^ enthalten, wie 

 ein über die Begrenzung eines Parallelogramms mit den Seiten 1 und oj er- 

 strecktes Integral zeigt, und wie man auch daraus schliessen kann, dass 

 ,9-j,(i;) eine ungerade Function ist und die übrigen sich darauf zurückführen 



lassen. Als Function des Normalintegrals erster Gattung « hat ir— ? — tttt 

 einen einfachen Unendlichkeitspunkt in der Fläche, den man durch passendes 



*) Mau kommt dadurch nicht etwa zu einer speciellereu Functionsklasse , denn wenn 

 0{v) die Eigenschaften 



©(!;+!) = {—l)9.Q{v), Q(v + co) = (— l)''.e-'''''^'--2'"Ji'.0(.(;) 

 hat, so hat / 7 < 



die Eigenschaften 



