Zur Theorie der Thetafunctionen von p Variablen, (p. 7) 227 



ausserwesentlich sing-ulüre Punkte (in endlicher Zahl) hat. Für den vor- 

 liegenden Zweck der Bilduno; von möglichst einfachen Integralen zweiter 

 Gattung als Funktionen von u^...i(„ genügt die Aufstellung von Functionen 

 f{i\ . . . V ) mit verschwindenden A^ . ..Ä„. Nach Analogie mit den Betrachtungen 

 für p = 1 sucht man zunächst eine für jedes endliche Werthsj'stem v^ . . . v„ 

 endliche und stetige eindeutige Funktion © {v^ . . . v„) mit den Perioden- 

 eigenschaften 



ii\, i-, . . . , y + 1) = (_ 1 )0t, . Q {t\ . . . t:„) 



Jede partielle logarithmische Derivirte derselben besitzt den von der 

 Function f{r^...r„) verlangten Charakter. Nach allgemeinen Sätzen muss 

 ö((\...r„) die Entwickelungsform 



0(c r 1 = 2' :S A e + 2nj^()i„ + ip„Vr„ 



•* -X, + OD -oc, + oc ' i' ^'P 



haben. Aus 



— 00, + co — Qo, + cc ' • • ■ y l.p 



erkennt man leicht, dass alle ß/^v ganze Vielfache von 2,t/ sein müssen, was 

 natürlich nur eine nothwendige und noch keine hinreichende Bedingung für 

 die Existenz von © (u, . . . c ) ist. *) 



*) Z. B. ergiebt sich aus der Betrachtung des über alle Querschnittränder der 



Kiemann'schen Fläche genommenen Integrals r ■ I dlq Q (u, ... K,,) , dessen Werth sich leicht 



" 27ti J ■' ^ ' P' 



als - — ~-(ßii ~{~ß, .,'{'• ■ ■ ßpp) finden lässt, dass die ganze Zahl ; .- . [ß^^ -'r ß-,-. + • ■ ■ '~\~ ßpp) 



negativ sein muss , weil das Integral die Anzahl der Nullstelleu der nach den 



Voraussetzungen in der Fläche nicht unendlichen Funktion ©(«j...«„) angiebt. (Der Fall 



3lg Q(v^. . . v„) 

 ß II ~r ß^.2~\~ •■• ~\~ ßpp ^^ ist ohne Interesse, weil dann die Functionen ;r — 



nach Einsetzung der «^ . . . «„ zu Integralen erster Gattung mit verschwindenden Periodicitäts- 

 modulu an öj . . . «„ , d. h. zu Constanten würden.) Der Satz zeigt auch, dass mau wirklich 

 von der Function (r, . . . (' ) zu Integralen zweiter Gattung gelangt. 



