Zur Theorie der Thetafunctionen von p Variablen, (p. 9) 229 



^fc, + m , li . . . kp + m^,.<y =^ 



>' ,1/ V ,U V 



Und weil sich schreiben lässt: 



k, k^, r »I, »J^, ,1/ 1 



(I-, . . . t^,,) = -. . . - V ... 2^ ^;i ^ , j . . . , + „ . j . e+ 2- ' fi^. + 'V ■ '^ +i3u) Vu 



(— 00,4- Cß — GO, + 00 P P ^il' J 



wo jedes A,, auf die Werthe o, i, 2 . . . (5— 1 , oder, wenn d negativ wäre, auf 

 0, 1 , 2 ..., — ()' — 1 zu beschränken ist, so setzt sicli der Ausdruck von © («^ . . . v ) 

 linear, homogen und mit constanten Coefticienten aus |()''' Functionen der Form 



m^ m II (/ r u v u 



zusammen. 



§ 3. P^s fragt sich zunächst, wann eine solche Reihe unbedingt con- 

 vergent ist. Wenn v^ . . . i- irgendwie tixirt sind, so hat die Reihe von einem 

 Factor abgesehen die Form 



»tj m u V u 



Setzt man 



so ist die aus den absoluten Werthen der einzelnen Reihenglieder gebildete 

 Reihe, deren Convergenz zu prüfen ist, die folgende 



'"l "'n ," '' ," 



_oo7+o='-a7+x U' U' 1,2)' 



." '' 



Nach den F.igenschaften der w^,,, ist aber —tt.:^ ^ m .ni^,.a[',j, stets 



i,p hp 

 negativ und von verschieden, woraus man erkennt, dass bei J < o unmöglich 



Convergenz statttiiiden kann. (Ausserdem ist schon bemerkt worden, dass 



die ganze Zahl ^Z--^ ,(^ß^^ j^ ß^^ -\- _,,-\- ß \ oder -\-2).d jedenfalls positiv 



sein muss, wenn die Function existiren soll.) 



Dass nun wirklich für positives ganzzahliges d die Reihe stets con- 



vergirt, dafür lässt sich ein Beweis genau so geben, wie Riemann (Werke 



Seite 452 — 455) die Convergenz seiner j;-fach unendlichen fundamentalen 



Thetareihe bewiesen hat. Ein anderes, kürzeres und elementareres Verfahren 



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