Zur Theorie der Thetafiiiietioiien von p Variablen, (p. 11) 231 



Anzahl cUt in der Ä*^^" Gruppe enthaltenen Werthsysteme findet man durch 

 Induction von der Form a .Jx''~^ -{-h .l-^^~^ + . . ., auf die von p abhängenden 

 ganzzahligen Coefücienten a,h,... kommt es nicht weiter au. Die wesentlich 

 positive und nur für i\ = x, =: . . . r^ = o verschwindende Grösse 



2' 2" (/';,,, .j„ ..r,, hat eine gewisse untere Grenze ^4>(t, wenn man .r^^ als 



i.P i.p ■'"' '" 



+ 1 oder — 1 annimmt und die übrigen x^ auf den Bereich von — 1 bis +1 



(mit P^inschluss der Grenzen) beschränkt und so nach einander für jedes // 

 verfährt: j^. /;,..?„ hat bei denselben Annahmen über .i\...irp dem absoluten 



Werthe nach eine obere Grenze B, und so folgt schliesslich analog wie bei 

 der Betrachtung für ^j = 2 die Convergenz von 



Wij tu u r ^^ II ^ 



und damit die unbedingte Convergenz von 



'"i '",, ," '' ," 



V V ,,+ n ii5 .^ 2^ »1,1 . Uli, . a,,y + 2 .i„ . in,, 



aus der Convergenz von ^(a.l-^ -|- ...). e^"*^^'-^ + ''-^ unter der Annahme 

 (J > . *) 



Für 2} = 2 ist noch Rosenhain's Convergenzbeweis**) der zweifach 

 unendlichen Thetareihen zu nennen; er beruht auf einer Vergleichung der 

 gegebenen Doppelreihe mit dem Product zweier einlach unendlichen Reihen, 

 die so gewählt sind, dass jedes Glied ihres als Doppelreihe aufgefassten 

 Productes dem absoluten Werthe nach grösser ist als das entsprechende Glied 



*) Ueber die Aureguug zu diesem Bevreisverfahren sei erwähnt, dass Weiers trass 

 die Convergenz der bei Bildung der 6 -Function vorkommenden Keilie 



)Hj m„ 1 

 V v" - ; 



-00,+ QO -OD, + QO ('»,W, +'».,W.,) 



(bei nicht reellem Yerliältniss von cj^ und oj,) für /!>3 einfach durch geometrische Dar- 

 stellung der Punkte m ^ . oj^ -\- //i„ . oj , und Anordnung nach concentrisch ähnlichen Parallelo- 

 grammen zeigte; ist q der Badius eines ganz innerhalb des kleinsten Parallelogrammes 

 gelegenen Kreises, so ist die Summe der absoluten Werthe der zum /.:"^° Parallelogramm 



8/' 

 gehörigen Glieder der Reihe kleiner al 



^*) Memoiros de savants etrangers presentes ä l'academie XL (1851). 



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