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der gegebenen Reihe. Das Verfahren lässt sich anch auf beliebiges p über- 

 tragen, wird aber dadurch umständlicher. — Göpel*) hat keinen Convergenz- 

 beweis seiner Thetareihen veröffentlicht. 



Ein anderer Beweis, der sich an den Kosenhain'schen Grundgedanken 

 anschliesst, aber w^eit einfacher ist und sich auch auf beliebiges p direct 

 übertragen lässt, soll hier noch für j) ~ 2 aufgestellt werden. Setzt man 



-]-7rd . («"j .JH.; 4-2a"j .)ii.^ m, + «"., -ml) — ^ii[ .»i^ — ^^', .»!„ = rli{m^,m^) 

 und 



(»*; -f &J (ml + ©„)=/ («*,,«*„) , 



WO Q^ und ö., etwa positive echte Brüche seien, damit das später auftretende 

 nicht unendlicb wird, so sieht man, dass ^ ■"'' ' "'^■' endlich 



bleibt, wenn m^ und >«., zugleich unendlich werden, aber Null wird, wenn 

 nur eine dieser Grössen unendlich wird. Weiter wird ((^/((»(j, wj)^. e~'/'('"i''"2) 

 stets 0, sobald ?»_ und »i,, nicht beide endlich bleiben, und von 



gilt daher Gleiches. Es existirt daher eine endliche obere Grenze 31 für 

 diesen Ausdruck, oder es ist stets 



\(xbim,,m')Yl 



Aus der Convergenz von 



1 / '«i 1 \ / m., 1 



-(»7+» -a.r+00 X {»h, mj'' \_oo7+cc('«; + 0,/V ' \_oc,7+a>(»«2+ &J' 



für jedes beliebige positive ganzzahlige li folgt also die Convergenz der zu 

 untersuchenden Reihe. 



§ 4. Auf Grund dieser Convergenzbetrachtungen existirt also w'irklich 

 für d>0 eine eindeutige und für jedes endliche Werthsystem y, ...iv endliche 

 und stetige Function mit den Periodeneigenschaften: 



*) Crelle's Journal Bd. 35. 



