234 F. V. Dalwio-k. (p. 14) 



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sind leicht zu beweisen und werden später, allerdings meist im Falle j) = 2, 

 mehrfach benutzt werden. Erwähnt sei noch, dass die Potenzen oder Producte 

 von Thetafunctionen erster Ordnung Thetafunctionen höherer (Jrdnung sind, 

 wie die Periodeueigenschatten sofort zeigen ; die C'harakteristikelemente der 

 neuen Function setzen sich einfach durch Summation aus den entsprechenden 

 Charakteristikelementen der mit einander multiplicirten Thetafunctionen zu- 

 sammen. Da eine Thetafunction der Ordnung d und gegebener Charakteristik 

 nur ()'' willkürliche Constanten homogen und linear erhält, so lassen sich 

 viele Relationen hoherci' Ordnung zwischen Thetafunctionen der ersten Ordnung 

 aufstellen ; schon für ^y = 2 werden die Relationen zweiter Ordnung recht 

 zahlreich, wie die Theorie der hyperelliptischen Functionen vom Geschlcchte 

 2j =: 2 bei Rosenhain, Oiipel und die Arbeiten H. Weber's in Bd. 82 

 und S4 von Crelle's Journal zeigen. 



§ 5. Weil die Thetafunctionen höherer Ordnungen sich doch anf die 

 einfachen Thetafunctionen reduciren, braucht man nur die Fnnctionen erster 

 Crdnung als Functionen der Normalintegrale «,.../(,, und damit als Functionen 

 des (Jrtes in der Riemann'schen Fläche zu untersuchen. Die Normalintegrale 

 u,..-iip sind bisher nur soweit festgelegt, dass eine additive Constaute noch 

 willkürlich ist. Jetzt werde gesetzt 



■*) Dann kann man frcilicli die k (sielie weiter unten) nicht zum Versehwinden 

 bringen, doch stören die /,, in den Formeln Avenig- und die g-egebene Definition der «„ ist 

 -sonst recht brauchbar. 



