Zur Theorie der Thetafnnetionen von p Variahh')/. (p. 15) 235 



und man betrachtet die Function 



in der Fläche; y steht als Abkürzung der Charakteristik , , und 



\h, ...h 



r seien Constanten. 



Die Function hat, wenn sie nicht etwa identisch verschwindet, j) be- 

 stimmte einfache Nullstellen, die auch theils zusammenfallen können, >,,...>,,,. 

 Diese erfüllen die Bedingung-en 



wobei k^. . . A„ von r^ . . . r unabhängige Grössen sind (vgl. Riemann, Abel'sche 

 Functionen, Art. .22). 



Die Frage, unter welchen Bedingungen für c^ . . . f„ die Thetafunction 

 in der Fläche identisch verschwindet, hat Riemann in der Arbeit „Ueber das 

 Verschwinden der Thetafuuctionen" behandelt, aber nicht ganz einwurfsfrei 

 gelöst. Obwohl nun später durch Herrn C. Xeumann auf anderem Wege das 

 Problem völlig gelöst wurde, ist doch wohl eine einfache und strenge Durch- 

 führung des Riemann'schen Gedankenganges von Interesse. 



Wenn ,9-,,((/,(c) — c, ...«,, (u) — f„) nicht identisch verschwindet, also j> 

 Nullstellen t,^...r^ hat, so folgt für -'=',„ unter Benutzung des Ausdrucks 



)' j' 



von ('„ sofort s- J— :^ „^(,^^) — k^ ... — ^ «»('A) — /',■ =" '^^^^'i '^^ ^^^ Theta- 

 \ i.p—i i.jj— 1 / 



function höchstens ihr Zeichen ändert bei Umkehrung aller Argumente: 



-t- i ^(/;„)-f ^-^ • • • ^ «p(';,.^ + /'>) = 0. 



l,p— 1 i.i'— 1 ' 



Da man nicht weiss, ob /^, . . . *,,, durch passende Wahl der c^ . . . e in beliebige 

 Ijagen zu bringen sind, so bleibt noch fraglich, ob die letzte Formel auch 

 gilt, wenn /^, .../;_,_! ganz willkürliche Flächenpunkte sind. Und man muss 

 sich, wie Riemann zu Anfang des Art. 2 hervorhebt, zunächst mit dem Beweis 

 für den Fall begnügen, dass >;\...';„_i sich unabhängig von einander inner- 

 halb endlicher, wenn auch kleiner Bereiche befinden: durch einfache Ver- 

 allgemeinerung des Satzes, dass eine Function eines variablen Punktes in der 

 Riemann'schen Fläche identisch verschwindet, wenn sie in einem endlichen 

 Bereich Null ist, folgt der Satz dann allgemein. 



