236 F. V. Dalwig-k. (p. 16) 



Sind min c, . . . (\, irgend welche Flächenpuniite, aber so gewählt, dass 

 durch kein anderes ganz oder theilweise davon verschiedenes Punktsystem 

 c[ . . . c' die p Bedingungen 



»' )' 



^ !«„ (Cy) ^ ^ «„ (C',,) fl = \, 2 . . . p 



erfüllt werden, so kann man die Function 



^ (u, ( C) - 2- u^ (c,,) — A-, . . . » ( C) — ^ Up {(■,) — k 



betrachten, entweder ist sie identisch in der Fläche — und damit auch 

 für f j . . . (■ — oder sie hat p bestimmte Nullstellen, die sich aus den Be- 



V V 



dingungen v »„(>^,,)^r'„ — Z„ = ^^ h„(c,,) nach den über r, .'..(j, gemachten 



\,P ' ' ' i.i» ' 



Annahmen genau als c^ . ■■ c^ ergeben. Die Thetafunction ist daher unbedingt 



Null in c'j . . . f„ , möglicherweise könnte sie auch identisch verschwinden. Für 



:: = c folgt also gewiss 



»y\+:^ M,(c,,) + Ä;, ... :^ u (c^) + Jc \ = 0. 

 ^V 1,^—1 i,iJ— 1 / 



Die Einschränkung, welcher c , . . . c^j hierbei unterworfen waren, ist damit 

 gleichbedeutend, dass keine algebraische Function einer Ordnung inSp exi- 

 stiren darf, welche in m von den /) Punkten c, . . . f„ denselben Werth, etwa 

 den Werth -c , hat. Da sich aber bei einer Function solcher Ordnung nicht 

 alle Unendlichkeitspunkte beliebig wählen lassen, so sind Punktsysteme c^ . . . c^, 

 der geforderten Art wirklich vorhanden, und zwar kann man gewiss von einer 

 geeigneten Anfangslage des Punktsystems ausgehend die einzelnen Punkte noch 

 innerhalb enger Grenzen verändern, ohne damit der Bedingung zu wider- 

 sprechen. *) Und hieraus folgt durch die früher erwähnte Riemann'sche 

 Schlussweise sofort die Allgemeingiltigkeit der Gleichung 



» ( h u^ (f „) + /.•, . .■ . i u (f ,,) 4- Ä-,,\ = 

 ' Vl.p— 1 i,p— 1 '' 



im- jede beliebige Lage der c^. 



*) Recht ausfülivlieli und streng ist dies bei Neumann zu Anfang dos § 9 im Kap. XIII 

 (II. Aufl.) dargestellt. 



