Zur Theorie der TheiafiDidionen von p Variablen, (p. 17) 237 



[Also ist ^.,[«^(;-|+ V i,^i^c^:)^l\...UpC:) + ^ ««(''„)+'''•„] eine identisch 



l.^J — 2 \,p — 2 / 



verschwindende Function und damit die Elxistenz derartiger Functionen gezeigt.] 



Sind jetzt c, . . . r Grössen, die sich auf mehr als eine Art in der 



Form '.>„ ^ 2f «„ (r,,) + /.„ darstellen lassen, etwa als ^„^ (^- ,_|_^.^^ ^,„^1 



2- «„((■;',) + Z„, so ist ^,, („,(;-)_ e^ ... «p(;-) — ep) gleich für 'C =^ c\,c', . . . c' 



und auch für 'C = c" . . . c];, also in mehr als p Punkten der Fläche, und 

 daher identisch 0. 



Hiernach lässt sich ein früherer Satz vervollständigen. 



Wenn d-y{H^['C,) — (\...Up{X) — ep) nicht identisch verschwindet, so 

 genügen die p Nullstellen den Relationen 



r„ = 2- "„(»„,i + A„ (u = i . . .p) A. 



\.P ■ 

 und diese lassen sich durch andere Punktsysteme üherhaupt nicht befriedigen. 



Es bleÜJt noch die Frage, ob auch bei identisch verschwindendem 



^y(«i(D — t'i---";,(ir') — Pj,) die Grössen e, . . . e^y in der Form r' ^ ^^ »„ (c,,) + /.■„ 



darstellbar sind, und ob diese Darstellung eine eindeutige oder vieldeutige ist. 

 p]rgiebt sich diese Darstellung als möglich und vieldeutig, dami weiss man. 



dass 0-^.[u^{i:) — :^n^(c^) — k^...Up{'C) — :2iij^{c^)~J;\ nicht identisch — also 

 \,p i.p 



nu 



r in c^ . . . c — verschwindet, wenn e^ . . . c„ nicht dem Ausnahmefalle 

 angehören, wo ^ u,,{i\) noch durch ganz oder theilweise andere Punkte als 

 -"(((f'j-) darstellbar ist; und dann kann man nicht identisch verschwindende 



Thetafunctionen mit p willkürlich vorgeschriebenen Nullpunkten, von diesem 

 Ausnahmefalle abgesehen, bilden. 



Zur Entscheidung der Frage verfährt Kiemanu so: *) 



Eis sei ü- Ait^ VC) -(- 2' «j («,,) — 2' «^ c/i,,) — e^ . ..) stets identisch für den 



\,m — 1 l,m — 1 



variablen Pnnkt .', wie man auch die Punkte «,...«„j_i und ,:/,...,> 



*) Art. 3, S. 202 und Aufaug v. S. 203 der Werke; die auf den ersten Blick wenig 

 übersichtliche Bezeichnung und die gleichzeitige Herlei tuiig von zwei Tevschiedenen Sätzen 

 stört etwas. 



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