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durch ist das Integral bis auf eine additive konstante völlig bestimmt und 

 seine Periodicitätsmoduln an 1\...h„ haben die einfachen Werthe: 



Avie aus Betrachtung des Integrals j t^du^. für die aus den Quersclinitträudeni 

 bestehende Begrenzung der Rieraann'schen Fläche folgt. Hierbei ist c als 

 gewöhnlicher Flächenpunkt vorausgesetzt, ist r ein Yerzweigungspunkt, so 

 ändert das nicht viel, wesentlich ist überhaupt nur, dass die Periodicitätsmoduln 

 von t^ an h^... l algebraische Functionen des Uiistetigkeitspunktes c sind, dass 

 man sie kennt, ohne einen Ausdruck für f^ selbst zu besitzen. 



1; 



Im Ausdruck t^. — :^Cj^.t);{u^—c^...n~c] kann man daher (_\...C' 

 stets so bestimmen, dass derselbe an allen Querschnitten stetig ist. Ist c von 

 '/i ■••*;») verschieden, so stellt der Ausdruck eine algebraische Function mit den 

 Unendlichkeitsstellen r-, >,,...',,, dar und nur bei speciellen Beziehungen zwischen 

 Vi •■■'])> "^^^ '' kann es wohl vorkommen, dass die Ordnung der Function sich 

 vermindert, dass einige Unendlichkeitspunkte sich fortheben; eine algebraische 

 Function bleibt der Ausdruck sicher, denn in c bleibt er unendlich. 



Ist dagegen c mit einem der Punkte i,,...it„ identisch, etwa mit /y 

 und bestimmt man in /,j — ::^Cj;.fj;{u^—r^...i(—e^^) die C\...C' wieder so, 



dass alle Periodicitätsmoduln Null werden, so ist der Ausdruck eine Constante, 

 denn er könnte höchstens in /,j...»;„ unendlich werden und nach der Annahme, 

 dass •^y(»j — Cj . . . II „— c„) nicht identisch verschwinde, giebt es keine algebraische 

 Function ^'"Ordnung, die in //,...*;„ denselben Werth (hier den Werth cc) 

 annähme, und auch keine solche Function einer Ordnung nxp, die in m von 

 den Punkten /^^ . . . *^ gleichen Werth hätte. 



So lässt sich ein beliebiges Normalintegral zweiter Gattung durch die 

 jj logarithmischen Derivirten einer nicht identisch verschwindenden Theta- 

 function, zu deren Nullstellen der Unendlichkeitspunkt des Integrals gehören 

 muss, darstellen, ohne dass algebraische Functionen dabei auftreten. *) 



*) Eine additive Constante war beim Normalintegral t^ noch willkürlicli gelassen, 

 durch Bildung von jdt^ bestimmt sie sich zum Beispiel. 



