Zur Theorie der Thetufiinctionen von p Variahhii. (p. 23) 243 



Das Normalintegral dritter Gattung mit den siuo-idäreu Punkten 

 £ ,£ ,w, , werde so detinirt. dass seine Periodicitätsnioduln an « ,« ...a„ 

 verschwinden und dass an dem von t^ nach t, führenden Schnitt (.j^^ — (D~j 

 den Werth +2/r/ liabe. (Sind dann t^ und e., keine Verzweigungspunkte, so 

 ist Wj j -\-ly\z~ i^) in tj und (D^ ^—lg{s — z„) in e„ stetig und eindeutig; ist 

 ij oder £, ein Verzweigungspunkt oder sind beide Punkte Verzweigungspunkte, 

 so beeintiusst das diese Eigenschaften nur wenig und die gegebene Detinition 

 von Wj f bleibt ganz dieselbe.) 



Man wählt nun ^;— i Punkte c^ . . . »' _i , sodass die beiden Functionen 



V \.p — 1 \.p — 1 



S-^ iL) = ^..{ll, i'i.') — U, ("«,."> — - "i fc,,) — A-, . . . "„(-) — "„(fj — - «<n(c,,) — /■•«'i 

 ' ^ " l.iJ— 1 ■ 1,^—1 ^ 



nicht identisch, also nur in t^,<\...Cp_i resp. a.^, c^ . . . Cp_-^ verschwinden. 

 Um Jijd^^ und JgS-^ eindeutig in der Riemann'scheu Fläche zu machen, zieht 

 man noch Schnitte von den Kreuzungspunkten der beiden Schnitte eines 

 Querschnittpaares nach den Nullstellen der Thetafunctionen. Man findet dann 

 die Periodicitätsmoduln für die Querschnitte, falls die Charakteristik ;' gleich 

 9.--- 9p\ 



ist: 



Jg»-f —Igd-:;; = jt i <;„ + 2 J/„ . n i 



Ig^-f — Ig^T = .t/(;„ + 2J4. ,Ti 



lgD-f — lg(>- = rr//(„-|-2^Y„ . .T< — 7r/(»,^+«,7) + 2.-r/.c^ 



Jg&f — lg &- = -T <■/*„ + 2 JVy . rr «■ — .t ü' (h^^ -)- «,7) + 2 rr / . e^ 





wobei 





(/«=!... p) 



' l-iJ— 1' 

 Dass hier bei den Functionen Ig^^ und ?</*,, dieselben ganzen Zahlen 31,^ und 

 iV^^, auftreten, folgt daraus, dass man durch stetige Aenderung der Coustanten 

 in den Thetafunctionen die Functionen ih^ und d-., ineinander überführen kann, 

 wobei 31^... 31 und X^...X sich nicht sprungweise ändern können. — An 

 den zu den Nullpunkten von ^- führenden Schnitten ist stets igS^T—ig^r =:27ti. 



