252 F. V. Dalwig-k. (p. 32) 



nach S. 240 (20) bei beliebig gegebeiieu A^,A, und s^,£., stets befriedigen lassen, 



fi f.. " /, >-, 



so sind auch die Beimgangm Jdu^ -i^ Jdn^^A,, Idu, -}- jclit.^ ^ A., zu er- 



«/, ";', "l «;; 



füllen; bezeichnet nun ;:'„ die dem Punkt J, zugeordnete Stelle im anderen 



Blatt der zweiblättrigen Fläche, so hat man jdu ^ — /rf«„ und die letzten 

 Bedingungen lassen sich durch "'' "* 



jäii^ = A^ l'dii^ = A.^ 



£ C 



ersetzen. Die Thetafuuction it, { jdii^, /'/»J kaun daher unmöglich für alle 



f„ Co 



Puuktpaare L'„,l' verscliAvindeu, weil ^^ (r^,y,) nicht für alle Werthepaare v^,r, 

 verschwindet.*) 



*) Ein zweites Beweisyerfahven ist noch erwähneuswerth. Wäre -S^g /f?'<, , /du 



identisch Null für jede Lage von J,, und T, so liätteauch O'^i jdu^, j d u„ I und damit d-ß ,3 , ^ (,0,0) 



"h "I, 

 stets den Werth , und es verschwänden demnach nicht blos die sechs ungeraden Theta- 



functionen, sondern alle Functionen ■[)■ {i\,r^) für r, = 0, ('„ = 0, weil jede gerade 



Charakteristik durch drei ungerade darstellbar ist, von denen eine beliebig gewählt werden 



kann. Dies lässt sich aber aus einer sehr leicht herzuleitenden Formel, welche bei Göpel 



(Crelle's Journal Bd. 35) die Grundlage für alle algebraischen Kelationen zwischen Theta- 



functionen bildet, als unmöglich erkennen, so dass dadurch aucli erreicht ist, die jetzigen 



Untersuchungen über Thetafiinctionen von zwei Variablen in der zweiblättrigeu Fläche ganz 



unabhängig zu machen von früheren Untersuchungen über das identische Verschwinden von 



Thetafuuctionen von p Variablen in der Kiemann'schen Fläche. 



Die Formel ist folgende: 



^'(g,O.Ä ('-.'''^^ == ~ ^'(-1) i^<,''." •'■'."+'■."'• %,..A (0,0). ,,^+,^,,.,+, s (•2r,,2iü 



[hji,) °'^ "'^ i^O oj \ j 



wo 0, die aus ^ durch Verdoppelung der Moduln «j,, «,„, </.,., hervorgehende Function 

 angiebt ; der Specialfall ?' ^M ^= (00 ' ^^^ ^™ leichtesten aus der Keihenentwickelung 

 einleuchtet, genügt auch schon. Wären für ein gewisses Modulsystem alle geraden Theta- 

 fiinctionen mit verschwindenden Argumenten Null, so wären für das durch Halbirung ent- 

 stehende Modulsystem «, ,, fljj, W.,„ die Functionen 0/,, ,, \ (0, 0) Null und damit die linke 



( 



