Zur Theorie der Thetafunctionen von p Variablen, (p. 35) 2 



Grades das Quadrat von -^ — -^ — -^—^r-; ""d man findet durch Quadriren 



^^ßk + ßi + ßi^''^' 



^fii, + ßk + ßi (^'^V («/* — «*) («i— «fc) («m— «i) K— «i) 



'ß^^ + ß. + ^,(0,0)/ (ß/, — «■) {tti — a-) (o^ — «fc) («„ — «fc) 



- U^,^ + ß. + ^, (0 , 0) ' »ß^^ + ^^ + ^___ (0,0)] («i — «i) («„, - «fc) ' 



wobei die Vorzeichen in jedem einzelnen Falle leicht zu bestimmen sind. 



§ 10. Die Quotienten aus zwei geraden Thetafunctionen mit den 



Argumenten /(/«,, jdu, oder die Quotienten aus einer geraden und einer un- 



geraden Thetafunction sind auch Quadratwurzeln aus in der Fläche eindeutigen 

 algebraischen Functionen. Da sich aber die Nullstellen einer geraden Theta- 

 function nicht so einfach finden lassen als die einer ungeraden, so muss zur 

 Aufstellung dieser algebraischen Functionen ein ganz anderer Weg eingeschlagen 

 werden.*) 



Y sei eine gerade Charakteristik, dann ist der Ausdruck 1^ (u k))' 

 ^ \ ßj\ i> ■>'/ 



worin u^ = jdn^,».^ = jdu, sei, eine algebraische Function des Punktes 'C, 



welche in ':^ und a,^ in zweiter Ordnung unendlich wird und ebenso in 

 zwei Funkten in zweiter Ordnung verschwindet. Multiplicirt man daher 

 den Ausdruck mit {z — z„y.{z — a^,), so erhält man eine neue algebraische 

 Function, die im endlichen Gebiet der zweiblättrigen Fläche überall endlich 

 ist, im Unendlichen in jedem Blatte unendlich wird wie z'' und die in zweiter 

 Ordnung verschwindet in den Nullstellen von {t-^,{ii^,u„) und in dem Punkt ;"; , 

 welcher mit u^ dasselbe z = n, hat, aber im anderen Flächenblatt liegt. 

 Bezeichnet man mit r die Grösse /r^ — «j. (5 — «,)... (^ — ^ und mit /„ ihren 

 zu L^ gehörenden Werth, so ist — >■„ der Werth in c ; . 



Weil die zuletzt eingeführte algebraische Function nur für z =^ x un- 

 endlich wird, und zwar wie z'\ so muss sie in der Vorm A-z'-^-B .2'->rC.s-^D-{-E. r 



*) Die folgende Betrachtung ist entnommen aus einer von Herrn Prof. H. Weber 

 gehaltenen Vorlesung; einen zweiten Weg bietet der nächste Abschnitt. 



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