R. Olbricht. — Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 5 
Vorbemerkune. 
Im Seminar des Herrn Professor Dr. Klein wurde im Sommerhalbjahr 
1885 die Riemann’sche Arbeit „Beiträge zur Theorie der durch die Gauss- 
sche Reihe F («, 3, y,x) darstellbaren Funetionen“ und die Schwarz ’sche Ab- 
handlung „Ueber diejenigen Fälle, in welchen die Gauss’sche hypergeometrische 
xeihe eine algebraische Funetion ihres vierten Elementes darstellt“ durch- 
genommen und ich insbesondere darauf hingewiesen, den Zusammenhang der 
Kugel- und Cylinderfunetionen mit der Kiemann’schen P-Function auf- 
zusuchen. Dadurch sind die beiden ersten Theile der folgenden Arbeit ent- 
standen. So einmal auf die Kugelfunetionen geführt, beschäftigte ich mich 
mit dem Verlaufe derselben im reellen und complexen Gebiete. Die aufs 
erstere bezüglichen Resultate habe ich im dritten Theile zusammengestellt. 
Was die den Kugelfunetionen entsprechenden Riemann’schen Flächen be- 
trifft, so zeigt sich, dass bei ganzzahligen Indices zwar die den Functionen 
erster Art zugehörigen leicht diseutirt werden können, die Untersuchung für 
die Functionen zweiter Art sich jedoch wesentlich schwieriger gestaltet, da 
dieselben transcendent sind. Es ist mir gelungen, die zu den gewöhnlichen 
Kugelfunetionen zweiter Art gehörigen Riemann’schen Flächen aufzustellen. 
Man findet, dass durch die Funetion w — Q,(z) die Halbebene z auf ein 
krummliniges Dreieck mit den Winkeln 0,0, m-+1) x abgebildet wird. Da 
nun aber die z-Ebene unendlich viele Blätter enthält und jedem Halbblatte 
ein solches Dreieck entspricht, die Contouren derselben jedoch sehr com- 
