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Studien über die Kugel- und Oylinderfunctionen. 
geführt. Diese Functionen haben ihren Ursprung auch bei Legendre!) und 
finden sich in den Arbeiten Kummer’s?) und Jacobi’s®). Weitere Aus- 
führung haben sie durch Cayley®), Clebsch5), Heine), Mehler?) und 
durch Herrn Scheibner®) erfahren. Auch sie genügen einer linearen Diffe- 
rentialgleichung zweiter Ordnung, welche für p — 2 in 2) übergeht. Sie 
lautet: 
gay > Ah NEN ee) 
3) de 1 war 1x’? — 
.y=0. 
Von den Zugeordneten ausgehend kommt man noch zu einer neuen 
nicht minder wichtigen Erweiterung. Lässt man nämlich den Index n un- 
endlich gross werden und theilt das Argument durch n, so entstehen, wie 
Mehler°) und Heine!) gezeigt haben, die Functionen : 
In g\ 
Ba 2 3 
I. = m (cos )" 
en Ve n) 
5 ee re ) 
Ya = lim a Va Om (eos = je 
n / 
2D2=@ 
Auf dieselben stiess zuerst !!) Fourier in seinem Werke über analytische 
!) Kummer sagt Crelle 15, p. 64: Zu den Transcendenten, welche in der allgemeinen 
Reihe F (a, ß, y, x) enthalten sind, gehören auch die Coefficienten der Entwickelung 
(1-+ @ — 2a cosp) " —= Po—+ 2Pı cos p-+... Diese Coefficienten sind schon sehr oft 
untersucht worden, und Legendre hat denselben die erste Abtheilung seines Appendice au traite 
des fonctions elliptiques T. II, p. 531 ff. gewidmet. 
2) Crelle 15, p. 64: Ueber die hypergeometrische Reihe. 
3) Untersuchungen über die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe. 
(Crelle 56, p. 158, $ 5.) 
4) Sur les fonctions de Laplace. (Liouville Journal S. I. T. XIII. 1848. p. 275.) 
5) Ueber eine Eigenschaft der Kugelfunctionen. (Crelle 60, p. 343.) 
6) Die speciellen Lame’schen Functionen 1. Art von beliebig hoher Ordnung. 
(Crelle 62, p. 110.) 
‘) Ueber die Entwickelung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplace- 
schen Functionen höherer Ordnung. (Crelle 66, p. 161.) 
>) Ueber die Berechnung einer: Gattung von Functionen, welche bei der Entwickelung 
der Störungsfunetion erscheinen. Gotha 1853. 
9) Ueber die Vertheilung der statischen Elektrieität in einem von 2 Kugelkalotten 
begrenzten Körper. (Crelle 68, p. 140.) 
10) Die Fourier-Bessel’sche Function. (Crelle 69, p. 128.) 
ıı) Gian Antonio Maggi erwähnt in seiner Abhandlung Sulla storia delle funzioni 
eilindriche (Reale Accademia dei Lincei Vol. IV®, Serie 3%, 1880), dass die Function Jo ge- 
legentlich bei Daniel Bernoulli und Euler vorkommt. 
Nova Acta LII. Nr. 1. >) 
